Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Definición para el alumno
  • Definición formal
  • Reglas de Restricción
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Restricción Única (TPS)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Restricción Múltiple (MAP + IAT)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 3: Restricciones Heterogéneas (UEGO / Lambda)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

Teoría matemática

Definición para el alumno

Una función de dos variables $f(x,y)$ es una "máquina" que recibe un punto del plano $(x,y)$ y devuelve un número real $z$. La máquina no acepta cualquier punto: hay puntos donde la fórmula "explota" (raíz de negativo, división entre cero, logaritmo de cero). Al conjunto de puntos que sí acepta lo llamamos dominio. Al conjunto de números que la máquina puede entregar lo llamamos rango.

Por qué importa: si vas a usar la función (en un sensor, en un motor, en una ECU), primero tienes que saber en qué condiciones funciona y qué valores puede dar. Eso es, literalmente, dominio y rango.

Definición formal

$$\begin{aligned} \operatorname{Dom}(f) &:= \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} : f(x,y) \in \mathbb{R}\} \\ \operatorname{Rgo}(f) &:= \{z\in\mathbb{R} : \exists\,(x,y)\in\operatorname{Dom}(f) \text{ con } f(x,y)=z\} \end{aligned}$$

Cómo se lee en español llano:

• Dominio: los puntos del piso $(x,y)$ donde la máquina no se rompe.
• Rango: los números que la máquina puede sacar por la pantalla $z$.

Una asimetría importante:

• El dominio se impone por restricciones (el logaritmo exige argumento positivo, el denominador no puede ser cero, etc.).
• El rango se descubre a partir de la imagen de la función; a veces es todo $\mathbb{R}$, a veces un intervalo, a veces una curva.

Reglas de Restricción

Operación	Condición sobre $(x,y)$	Por qué	Frontera
Fracción $\dfrac{g}{h}$	$h(x,y)\neq 0$	división entre cero no definida	abierta
Raíz par $\sqrt[n]{g}$ ($n$ par)	$g(x,y)\geq 0$	solo reales $\geq 0$ tienen raíz par real	cerrada
Logaritmo $\log_a(g)$	$g(x,y)>0$	argumento estricto	abierta
Tangente $\tan(g)$	$g(x,y)\neq \pi/2+k\pi$	asíntotas verticales	abierta
arcsen(g), arccos(g)	$-1\leq g(x,y)\leq 1$	argumento debe caer en el dominio de la inversa	cerrada en ambos extremos

Idea-fuerza para el alumno: cada regla convierte la fórmula en una inecuación sobre $x$ e $y$. El dominio final es la intersección de todas esas inecuaciones.

Visualización

#	Figura	Función que ilustra	Mensaje
1		Forma 1: $\sqrt{9-x^2-y^2}$	dominio como región del plano, rango $[0,3]$
2		Forma 1	"Un dominio se puede leer como un mapa"
3		$z=x^2+y^2$	rango no acotado $[0,+\infty)$
4		$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, $R=3$	rango cerrado y acotado $[0,R]$
5		Forma 2: corona $1<x^2+y^2<4$	"Varias restricciones combinadas pueden dar un anillo"

Ejemplo Forma 1: Restricción Única (TPS)

Problema

Hallar el dominio y el rango de

$$f(x,y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Una sola operación restringida (raíz).
• Herramienta. Despeje algebraico del radicando + lectura como disco cerrado.
• Bifurcación. Paso 1: la frontera se incluye (raíz par $\Rightarrow$ $\geq$, no $>$).

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

Punto	Pertenece al dominio	$f(x,y)$	Comentario
$(0,0)$	sí	$3$	máximo del rango
$(3,0)$	sí	$0$	frontera, sí pertenece
$(4,0)$	no	no existe	exterior

Procedimiento detallado:

1. Detectar la única restricción: raíz cuadrada.
2. Radicando $\geq 0$: $9 - x^2 - y^2 \geq 0$.
3. Equivalentemente: $x^2 + y^2 \leq 9$.
4. Geométricamente: disco cerrado de radio $3$.
5. Rango: $f\geq 0$ siempre; $f(0,0)=\sqrt{9}=3$ es el máximo.

$$\operatorname{Dom}(f) = \{(x,y):x^2+y^2\leq 9\},\qquad \operatorname{Rgo}(f) = [0,3].$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Invertir la desigualdad y escribir $x^2+y^2\geq 9$.
• Excluir la frontera y escribir $x^2+y^2<9$.
• Reportar el dominio como si fuera el rango.

Ejemplo Forma 2: Restricción Múltiple (MAP + IAT)

Problema

Hallar el dominio de

$$f(x,y) = \dfrac{\ln(x^{2}+y^{2}-1)}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Varias restricciones que comparten estructura algebraica (todas dependen de $x^2+y^2$).
• Herramienta. Reescribir cada restricción como inecuación sobre la misma expresión y luego intersectar.
• Bifurcación. Paso 2: la frontera se excluye (logaritmo + denominador). Se opone a la Forma 1.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

Punto	Pertenece	$f(x,y)$	Comentario
$(0,\sqrt{2})$	sí	$0$	interior de la corona
$(1,0)$	no	no existe	frontera interior excluida (logaritmo)
$(2,0)$	no	no existe	frontera exterior excluida (denominador)
$(\sqrt{3},0)$	sí	$\ln 2$	interior válido

Procedimiento detallado:

1. Detectar tres restricciones:
   • $\ln(x^2+y^2-1)$ exige $x^2+y^2-1>0$.
   • $\sqrt{4-x^2-y^2}$ exige $4-x^2-y^2\geq 0$, y como está en el denominador, $>0$.
   • El denominador exige la raíz estrictamente positiva.
2. Traducir a inecuaciones sobre la misma magnitud $x^2+y^2$:
   • $x^2+y^2>1$ (logaritmo estricto).
   • $x^2+y^2<4$ (denominador).
3. Intersección: $1<x^2+y^2<4$.
4. Geométricamente: corona circular abierta entre radios $1$ y $2$.

$$\operatorname{Dom}(f) = \{(x,y):1<x^{2}+y^{2}<4\}.$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Cerrar las desigualdades y escribir $1\leq x^2+y^2\leq 4$.
• Olvidar el denominador y aceptar $x^2+y^2\leq 4$.
• Invertir la condición del logaritmo (escribir $\ln(\cdots)\geq 0$).

Ejemplo Forma 3: Restricciones Heterogéneas (UEGO / Lambda)

Problema

Hallar el dominio y caracterizar el rango de

$$\lambda(V,T) = \sqrt{\ln(V^{2}+T^{2}-1)} + \dfrac{1}{V-T}.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Dato. Restricciones que no comparten estructura: una radial ($V^2+T^2>k$) y una lineal ($V\neq T$).
• Herramienta. Intersección mixta: región del plano con un hueco recto.
• Bifurcación. Paso 3: aparece una frontera no cerrada (la recta $V=T$); el rango se vuelve no acotado por la presencia de la fracción.

Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

Punto	Pertenece	$\lambda(V,T)$	Comentario
$(2,0)$	sí	$\sqrt{\ln 3}$	dentro del anillo, fuera de la recta
$(1,1)$	no	no existe	viola $V\neq T$ (denominador)
$(0,\sqrt{3})$	sí	$\sqrt{\ln 2}+ \frac{1}{-\sqrt{3}}$	anillo válido, $V\neq T$
$(0.5,0.5)$	no	no existe	anillo no cumplido + recta

Procedimiento detallado:

1. Detectar restricciones:
   • $\ln(V^2+T^2-1)>0$ (logaritmo, y además $>0$, no $\geq 0$).
   • $\sqrt{\ln(\cdots)}$ exige el argumento del logaritmo $\geq 0$, pero la condición del logaritmo estricto ya implica eso.
   • $\dfrac{1}{V-T}$ exige $V\neq T$ (denominador).
2. Reescribir:
   • $V^2+T^2>2$ (radial).
   • $V\neq T$ (lineal).
3. Intersección: región del plano con $r>\sqrt{2}$ y $V\neq T$ (anillo con un corte recto excluido).
4. Rango: acotado parcialmente por la primera raíz ($\geq 0$), pero la fracción $\frac{1}{V-T}$ puede tomar cualquier valor no nulo. Sin más información, $\operatorname{Rgo}\approx(-1,\infty)\setminus\{0\}$ aproximado (se demuestra con elección de $(V,T)$ adecuada).

$$\operatorname{Dom}(\lambda) = \{(V,T)\in\mathbb{R}^{2}:V^{2}+T^{2}>2,\ V\neq T\}$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Olvidar que el logaritmo exige $>0$, no $\geq 0$ (la frontera $V^2+T^2=2$ queda excluida).
• Creer que $V\neq T$ es "automático" y no escribirlo explícitamente.
• Asumir que el rango es todo $\mathbb{R}$; en este caso hay un acotamiento parcial por la raíz.