Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Definición sobre un rectángulo
  • Teorema de Fubini
  • Regiones tipo I y tipo II
  • Propiedades básicas
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Integral sobre un rectángulo
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Integral sobre una región general
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Errores comunes transversales

Teoría matemática

Definición sobre un rectángulo

Sea $f:R\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ continua en $R=[a,b]\times[c,d]$. La integral doble es el límite de sumas de Riemann

$$\iint_R f(x,y)\,dA =\lim_{m,n\to\infty}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(x_i^*,y_j^*)\,\Delta A, \qquad \Delta A=\Delta x\,\Delta y.$$

Si $f\ge 0$, la integral representa el volumen bajo $z=f(x,y)$ y sobre $R$. En aplicaciones, también puede acumular densidad de carga, potencia, masa o energía.

Teorema de Fubini

Si $f$ es continua sobre el rectángulo $R$, la integral doble puede calcularse mediante cualquiera de los dos órdenes:

$$\iint_R f(x,y)\,dA =\int_a^b\!\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx =\int_c^d\!\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy.$$

La integral interior acumula sobre una franja; la exterior suma las contribuciones de todas las franjas.

Regiones tipo I y tipo II

• Tipo I. Región descrita por $a\le x\le b$ y $g_1(x)\le y\le g_2(x)$. Integral iterada $\displaystyle\int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx$.
• Tipo II. Región descrita por $c\le y\le d$ y $h_1(y)\le x\le h_2(y)$. Integral iterada $\displaystyle\int_c^d\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy$.

En una región no rectangular, invertir el orden exige redescribir geométricamente los límites. No basta con intercambiar $dx$ y $dy$.

Propiedades básicas

• Linealidad. $\iint_R(\alpha f+\beta g)\,dA=\alpha\iint_Rf\,dA+\beta\iint_Rg\,dA$.
• Aditividad. Si $R=R_1\cup R_2$ sin solape interior, $\iint_Rf=\iint_{R_1}f+\iint_{R_2}f$.
• Monotonía. Si $f\le g$ en $R$, entonces $\iint_Rf\,dA\le\iint_Rg\,dA$.
• Constante. $\iint_Rc\,dA=c\,\operatorname{area}(R)$.

Idea-fuerza

Antes de integrar, dibuja la región y decide cómo la recorre la integral interior. En rectángulos, Fubini permite elegir el orden más cómodo; en regiones generales, los límites codifican la geometría.

Visualización

• Figura 1 — Integral iterada doble.

  

  Figura 1. La integral doble se interpreta como el límite de sumas de Riemann con partición cada vez más fina de la región rectangular.

• Figura 2 — Orden de integración equivalente.

  

  Figura 2. Sobre un rectángulo, intercambiar $dx\,dy$ por $dy\,dx$ recorre la misma región con el mismo valor final cuando se cumplen las hipótesis de Fubini.

• Figura 3 — Región rectangular y sólido asociado.

  

  Figura 3. La región base $R$ del plano $xy$ y el sólido cuya altura local es $f(x,y)$ sobre cada punto.

Ejemplo Forma 1: Integral sobre un rectángulo

Problema

Una placa cuadrada de capacitor tiene lado $L=0{,}04\ \text{m}$ y densidad superficial

$$\sigma(x,y)=10^{-6}(1+0{,}5x)\ \text{C/m}^2, \qquad 0\le x\le L,\quad 0\le y\le L.$$

Calcular la carga total $Q$.

Resolución

Analítica

La región es rectangular y la densidad no depende de $y$:

$$\begin{aligned} Q &=\int_0^L\!\int_0^L10^{-6}(1+0{,}5x)\,dy\,dx \\[0.45em] &=10^{-6}L\int_0^L(1+0{,}5x)\,dx \\[0.45em] &=10^{-6}L\left[x+\frac{x^2}{4}\right]_0^L \\[0.45em] &=10^{-6}L\left(L+\frac{L^2}{4}\right). \end{aligned}$$

Para $L=0{,}04$:

$$Q=10^{-6}(0{,}04)(0{,}0404)=1{,}616\times10^{-9}\ \text{C}.$$

Resultado. La placa almacena $Q=1{,}616\ \text{nC}$ según el modelo.

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. La región tiene límites constantes y forma rectangular.
• Herramienta. El teorema de Fubini autoriza cualquiera de los dos órdenes.
• Bifurcación. En el paso de planteamiento se elige integrar primero en $y$ porque la densidad no depende de esa variable.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

Al invertir el orden, la integral en $x$ vale $10^{-6}(L+L^2/4)$ y la integral posterior en $y$ multiplica por $L$. Se obtiene exactamente el mismo resultado. Además,

$$10^{-6}L^2<Q<1{,}02\times10^{-6}L^2,$$

coherente con una densidad que crece ligeramente desde $x=0$ hasta $x=L$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Omitir el factor $10^{-6}$ al sustituir la densidad.
• Integrar solo una vez y olvidar que la placa tiene dos dimensiones.
• Mezclar centímetros y metros dentro del mismo cálculo.

Ejemplo Forma 2: Integral sobre una región general

Problema

La zona activa de un sensor es el triángulo con vértices $(0,0)$, $(0{,}03,0)$ y $(0{,}03,0{,}02)$, medidos en metros. La irradiancia es

$$E(x,y)=500(1+0{,}3y)\ \text{W/m}^2.$$

Calcular la potencia óptica total recibida.

Resolución

Analítica

La recta inclinada es $y=2x/3$. Como región tipo I,

$$R=\left\{(x,y):0\le x\le0{,}03,\ 0\le y\le\frac{2x}{3}\right\}.$$

Por tanto,

$$\begin{aligned} P &=\int_0^{0{,}03}\!\int_0^{2x/3}500(1+0{,}3y)\,dy\,dx \\[0.45em] &=500\int_0^{0{,}03}\left(\frac{2x}{3}+\frac{x^2}{15}\right)dx \\[0.45em] &=500\left[\frac{x^2}{3}+\frac{x^3}{45}\right]_0^{0{,}03} \\[0.45em] &=0{,}1503\ \text{W}. \end{aligned}$$

Resultado. El sensor recibe aproximadamente $P=150{,}3\ \text{mW}$.

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. La frontera superior depende de $x$ y la región es triangular.
• Herramienta. Se describe la región como tipo I antes de plantear la integral.
• Bifurcación. En el primer paso se obtiene $y=2x/3$; los límites interiores dejan de ser constantes.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

La región tipo II equivalente es

$$R=\left\{(x,y):0\le y\le0{,}02,\ \frac{3y}{2}\le x\le0{,}03\right\}.$$

La integral con orden inverso produce el mismo valor. Como el área triangular es $3\times10^{-4}\ \text{m}^2$, una irradiancia constante de $500\ \text{W/m}^2$ daría $0{,}15\ \text{W}$; el resultado debe ser ligeramente mayor porque $E$ crece con $y$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Integrar sobre el rectángulo completo en lugar del triángulo.
• Intercambiar $dx$ y $dy$ sin redescribir los límites.
• Usar $y=3x/2$ en vez de la pendiente correcta $2/3$.

Errores comunes transversales

1. Confundir $\iint_R f\,dA$ con el área de $R$; solo coinciden cuando $f=1$.
2. Ignorar las unidades del elemento de área: al pasar de cm a m, el factor es cuadrático.
3. Suponer que invertir el orden conserva literalmente los límites en una región curva o triangular.
4. Plantear la integral antes de dibujar la región y comprobar sus intersecciones.