Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno
  • Caso de una variable intermedia
  • Caso multivariable (Jacobiano)
  • Forma matricial (Jacobiano de la composición)
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Una variable intermedia
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Dos variables intermedias (Jacobiano)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Errores comunes transversales

Teoría matemática

Idea para el alumno

Si $z$ depende de $u, v$ y $u, v$ dependen de $x, y$, entonces $z$ depende de $x, y$ "a través de" $u$ y $v$. La regla de la cadena dice cómo se acumulan las derivadas a lo largo de las rutas de dependencia.

Caso de una variable intermedia

Si $z = f(u)$ y $u = g(x, y)$, entonces:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d z}{d u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d z}{d u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.$$

Cómo se lee: la tasa de cambio de $z$ respecto a $x$ es el producto de "¿cuánto cambia $z$ cuando cambia $u$?" por "¿cuánto cambia $u$ cuando cambia $x$?". La derivada $dz/du$ es total (porque $z$ solo depende de $u$).

Caso multivariable (Jacobiano)

Si $z = f(u, v)$ y $(u, v) = (g(x, y), h(x, y))$, entonces las derivadas se obtienen multiplicando Jacobianos:

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}, \\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}. \end{aligned}$$

Equivalente en notación matricial:

$$\begin{pmatrix} \dfrac{\partial z}{\partial x} \\[0.6em] \dfrac{\partial z}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial u} & \dfrac{\partial f}{\partial v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial x} \\[0.4em] \dfrac{\partial u}{\partial y} & \dfrac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}.$$

Cómo se lee: hay dos rutas de dependencia ($u$ y $v$); cada una aporta una contribución y se suman.

Forma matricial (Jacobiano de la composición)

Si $\mathbf{z} = F(\mathbf{u})$ y $\mathbf{u} = G(\mathbf{x})$, el Jacobiano de la composición es el producto de Jacobianos:

$$J_{F \circ G}(\mathbf{x}) \;=\; J_{F}(\mathbf{u})\cdot J_{G}(\mathbf{x}).$$

El orden importa: el Jacobiano "interno" (respecto a $\mathbf{u}$) se multiplica a la izquierda del "externo" (respecto a $\mathbf{x}$).

Idea-fuerza

"Encadenar" derivadas equivale a multiplicar matrices (los Jacobianos). Cuando hay varias rutas, las contribuciones se suman; el orden del producto sí importa (no es conmutativo).

Visualización

• Figura 1 — Cadena Dos Variables. Mensaje: "La cadena conecta dos flechas de dependencia".
• Figura 2 — Jacobiano Composicion. Mensaje: "Las dos rutas suman sus contribuciones".
• Figura 3 — Cadena Circuito Cascada. Mensaje: "Cada etapa amplifica (o atenúa) la señal".

Ejemplo Forma 1: Una variable intermedia

Problema

$$z = u^2 + 3u,\qquad u = x^2 + y^2,\qquad (a, b) = (1, 1).$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Composición con una sola variable intermedia $u(x, y)$.
• Herramienta. Producto $\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{d z}{d u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}$ (análogo para $y$).
• Bifurcación. Paso 1: solo hay una ruta de dependencia ($x \to u \to z$); el Jacobiano es $1\times 1$ (escalar).

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Derivadas: $\dfrac{d z}{d u} = 2u + 3$, $\dfrac{\partial u}{\partial x} = 2x$, $\dfrac{\partial u}{\partial y} = 2y$.

2. Regla de la cadena:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = (2u + 3)(2x),\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = (2u + 3)(2y).$$

3. Sustituyendo $u = x^2 + y^2$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x(2x^2 + 2y^2 + 3),\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y(2x^2 + 2y^2 + 3).$$

4. Evaluación en $(1, 1)$: $u = 2$, $2u + 3 = 7$.

$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = 2\cdot 1\cdot 7 = 14,\qquad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} = 2\cdot 1\cdot 7 = 14.$$

5. Verificación numérica con $h = 10^{-3}$: $z(1.001, 1) = (1.001^2 + 1)^2 + 3(1.001^2 + 1) \approx 10.014$; cociente $\approx 14/1000 = 0.014$, valor adimensional correcto. ✓

• $u(1, 1)$. Valor: $2$.
• $z(1, 1)$. Valor: $10$.
• $\partial z/\partial x$ en $(1,1)$. Valor: $14$.
• $\partial z/\partial y$ en $(1,1)$. Valor: $14$.
• Verificación numérica $\Delta z/\Delta x$. Valor: $\approx 0.014$ (con $h=10^{-3}$).

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Olvidar la $u$ intermedia y derivar como si $z$ dependiera directamente de $x, y$.
• Confundir $dz/du$ (total) con $\partial z/\partial u$ (parcial).
• Aplicar mal la regla del producto con $z = u^2$: $dz/du = 2u$, no $u$.

Ejemplo Forma 2: Dos variables intermedias (Jacobiano)

Problema

$$z = u^2 + v^2,\qquad u = x + y,\ v = x - y,\qquad (a, b) = (1, 2).$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Composición con dos variables intermedias $u(x, y)$ y $v(x, y)$.
• Herramienta. Producto de Jacobianos: $\nabla z = \nabla_{(u,v)} z \cdot J_{(u,v) \to (x, y)}$.
• Bifurcación. Paso 1: hay dos rutas; se suman las contribuciones (no se elige una).

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Derivadas de $z$: $\dfrac{\partial z}{\partial u} = 2u$, $\dfrac{\partial z}{\partial v} = 2v$.

2. Jacobiano de $(u, v)$ respecto a $(x, y)$:

$$\begin{pmatrix} \partial u/\partial x & \partial v/\partial x \\ \partial u/\partial y & \partial v/\partial y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

3. Regla de la cadena (suma de dos rutas):

$$\frac{\partial z}{\partial x} = (2u)(1) + (2v)(1) = 2(u + v) = 2(2x) = 4x.$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = (2u)(1) + (2v)(-1) = 2(u - v) = 2(2y) = 4y.$$

4. Evaluación en $(1, 2)$: $u = 3$, $v = -1$, $z = 10$.

$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)} = 4,\qquad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)} = 8.$$

5. Verificación por sustitución directa: $z = (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2 + y^2)$, así $\partial z/\partial x = 4x$ y $\partial z/\partial y = 4y$ ✓.

• $u(1, 2)$. Valor: $3$.
• $v(1, 2)$. Valor: $-1$.
• $z(1, 2)$. Valor: $10$.
• $\partial z/\partial x$ en $(1, 2)$. Valor: $4$.
• $\partial z/\partial y$ en $(1, 2)$. Valor: $8$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Olvidar una de las dos contribuciones (sumar solo una ruta).
• Aplicar mal la regla del producto cuando hay derivadas cruzadas.
• Confundir Jacobiano con Hessiano (el primero es de primeras derivadas; el Hessiano es de segundas).

Errores comunes transversales

1. Confundir derivada total con parcial. En la regla de la cadena, $dz/du$ es total (porque $z$ solo depende de $u$); $\partial u/\partial x$ es parcial.
2. Olvidar términos en el Jacobiano. Si $z$ depende de $u$ y $v$, hay dos rutas; ambas contribuciones se suman.
3. Invertir el orden de los Jacobianos. El producto de matrices no es conmutativo: $J_F \cdot J_G \neq J_G \cdot J_F$ en general.
4. Suponer que $u$ es solo función de $x$ y no de $y$; si $u = g(x, y)$, las dos derivadas parciales $\partial u/\partial x$ y $\partial u/\partial y$ son independientes.