Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Cambio de variable
  • Jacobiano
  • Cuándo usar polares
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Integral sobre un disco
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Integral sobre un anillo
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Cierre opcional: sector con integrando angular
• Errores comunes transversales

Teoría matemática

Cambio de variable

Para integrar sobre regiones con simetría circular se utiliza la transformación estándar de coordenadas polares:

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,$$

con $r\ge0$ y $\theta\in[0,2\pi)$.

Jacobiano

El área elemental en polares no es $dr\,d\theta$; al derivar la transformación se obtiene

$$dA=\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|dr\,d\theta=\left|\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta\end{pmatrix}\right|dr\,d\theta=r\,dr\,d\theta.$$

Por tanto

$$\boxed{dA=r\,dr\,d\theta.}$$

El factor $r$ refleja que un anillo de radio $r$ y grosor $dr$ tiene área aproximadamente $2\pi r\,dr$, y no $2\pi\,dr$.

Cuándo usar polares

• Frontera circular, anillo o sector. ¿Conviene polar? Sí.
• Integrando que depende sólo de $r$, por ejemplo $x^2+y^2$ o $\sqrt{x^2+y^2}$. ¿Conviene polar? Sí.
• Expresiones que se simplifican al escribir $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. ¿Conviene polar? Sí.
• Regiones rectangulares y polinomios generales en $x$, $y$. ¿Conviene polar? Mejor Cartesiano.
• Asimetrías que rompen la invariancia angular. ¿Conviene polar? Mejor Cartesiano.

Idea-fuerza

Antes de plantear la integral, dibuja la región: si la frontera es un arco de circunferencia y el integrando se reduce a una función de $r$ o de $\theta$, el cambio a polares convierte la integral en un producto de integrales separadas.

Visualización

• Figura 1 — Malla polar sobre el plano $xy$.

  

  Figura 1. Cada celda de la malla polar tiene área $r\,\Delta r\,\Delta\theta$, de modo que el Jacobiano del cambio aparece como factor natural de la integral.

• Figura 2 — Región entre dos curvas polares.

  

  Figura 2. Cuando la frontera interior y la exterior se expresan en polares, la integral doble se reduce a una integral iterada en $r$ y $\theta$ con límites separados.

• Figura 3 — Región polar tipo sector.

  

  Figura 3. El sector circular entre dos rayos y dos circunferencias es la región canónica sobre la que se monta toda integral polar.

Ejemplo Forma 1: Integral sobre un disco

Problema

Calcular

$$I=\iint_D(x^2+y^2)\,dA,$$

donde $D$ es el disco de radio $R=3$.

Resolución

Analítica

Con el cambio a polares, $x^2+y^2=r^2$ y la región es $0\le r\le3$, $0\le\theta\le2\pi$. Así,

$$\begin{aligned} I&=\int_0^{2\pi}\!\int_0^3r^2\cdot r\,dr\,d\theta \\[0.45em] &=\int_0^{2\pi}\!\int_0^3r^3\,dr\,d\theta \\[0.45em] &=\int_0^{2\pi}\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^3d\theta \\[0.45em] &=\int_0^{2\pi}\frac{81}{4}\,d\theta=\frac{81\pi}{2}. \end{aligned}$$

Explicación. La integral interior suma contribuciones radiales, y la exterior aprovecha la independencia de $\theta$ para multiplicar por la longitud angular total.

Resultado. $I=\dfrac{81\pi}{2}\approx127{,}235\ \text{u}^4$.

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Se entrega una región circular y un integrando que depende sólo de $x^2+y^2$.
• Herramienta. Se usa $x^2+y^2=r^2$ y el Jacobiano $dA=r\,dr\,d\theta$.
• Bifurcación. En el primer paso se reescribe la región como producto de un intervalo radial y otro angular.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

Por simetría rotacional, el promedio de $x^2+y^2$ sobre el disco es $R^2/2=9/2$. Multiplicado por el área $\pi R^2=9\pi$ se obtiene $\frac{R^2}{2}\pi R^2=\frac{\pi R^4}{2}=\frac{81\pi}{2}$.

En coordenadas cartesianas, $\int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}}(x^2+y^2)\,dy\,dx$ se reduce al mismo resultado tras evaluar las dos cuadraturas. La coincidencia confirma la corrección.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Olvidar el factor $r$ en $dA$ y subestimar el resultado por un factor medio $R/2$.
• Restringir $\theta$ a $[0,\pi]$ cuando la región cubre todo el plano.
• Tratar al integrando como función sólo de $r$ sin comprobar que la dependencia de $\theta$ se anule.

Ejemplo Forma 2: Integral sobre un anillo

Problema

Calcular el área del anillo con radio interior $a=1$ y radio exterior $b=3$, y luego evaluar

$$I=\iint_{\text{anillo}}(x^2+y^2)\,dA.$$

Resolución

Analítica

Paso 1 — área. El integrando es $1$, por lo que la altura local vale $r$:

$$\begin{aligned} A&=\int_0^{2\pi}\!\int_1^3r\,dr\,d\theta \\[0.45em] &=\int_0^{2\pi}\left[\frac{r^2}{2}\right]_1^3d\theta \\[0.45em] &=\int_0^{2\pi}\frac{9-1}{2}\,d\theta=4\cdot2\pi=8\pi. \end{aligned}$$

Paso 2 — momento polar. Reescribiendo $x^2+y^2=r^2$,

$$\begin{aligned} I&=\int_0^{2\pi}\!\int_1^3r^3\,dr\,d\theta \\[0.45em] &=\int_0^{2\pi}\left[\frac{r^4}{4}\right]_1^3d\theta \\[0.45em] &=\int_0^{2\pi}\frac{81-1}{4}\,d\theta=20\cdot2\pi=40\pi. \end{aligned}$$

Explicación. La única diferencia con la Forma 1 es el límite inferior de $r$, que ya no es $0$. El integrando se conserva como $r^3$ porque $f\,dA=r^2\cdot r\,dr\,d\theta$.

Resultado. $A=8\pi\ \text{u}^2$ y $I=40\pi\ \text{u}^4$.

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. La región es un anillo y se mantiene la dependencia radial del integrando.
• Herramienta. Se conserva la descripción en polares con $r\in[a,b]$.
• Bifurcación. La integral de $r^2$ se reduce a una diferencia de potencias cuartas evaluada en los radios.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

El área puede obtenerse por diferencia de discos: $\pi b^2-\pi a^2=9\pi-\pi=8\pi$. El momento polar cumple la misma relación: $\frac{\pi}{2}(b^4-a^4)=\frac{\pi}{2}(81-1)=40\pi$. Ambos resultados coinciden.

Para validar la integral en cartesianas, basta notar que el anillo es el disco grande menos el disco pequeño, por lo que

$$I=\frac{81\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=40\pi,$$

que reproduce el valor polar.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Integrar sobre $[-3,3]^2$ y olvidar la condición $r\ge1$, recuperando el disco lleno.
• Intercambiar $a$ y $b$ y obtener un resultado negativo.
• Asumir densidad uniforme sin comentar que, si se busca la masa, debe multiplicarse por $\rho(r,\theta)$.

Cierre opcional: sector con integrando angular

La Forma 3 del temario integra un integrando que depende sólo del ángulo, por ejemplo $f(\theta)=\theta$, sobre un sector. Se modela con la misma estructura $dA=r\,dr\,d\theta$ y se reduce a una integral sobre $\theta$ multiplicada por una constante radial. Aparece en distribuciones angulares de campo en el entrehierro de un alternador trifásico. En este apunte sólo se enuncia: el desarrollo numérico se aborda en la versión con programación.

Errores comunes transversales

• Olvidar el Jacobiano $r$. Consecuencia: resultado menor por un factor medio $R/2$. Prevención: escribir siempre $r\,dr\,d\theta$ en polares.
• Usar $\theta\in[0,\pi]$ cuando la región cubre ambos medios planos. Consecuencia: área y momento reducidos a la mitad. Prevención: identificar si la región cruza el eje $x$.
• Confundir disco con anillo. Consecuencia: diferencia de área $\pi a^2$. Prevención: verificar si el origen pertenece a la región.
• Aplicar polares a un integrando asimétrico. Consecuencia: integral más difícil que en cartesianas. Prevención: cambiar a polares sólo si la región o $f$ lo justifican.
• Asumir densidad uniforme en aplicaciones de ingeniería. Consecuencia: se pierde la dependencia angular del campo real. Prevención: verificar si $B$ o $\rho$ dependen de $\theta$.