Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno
  • Notación
  • Teorema de Clairaut (igualdad de derivadas cruzadas)
  • Matriz Hessiana
  • Criterio de la segunda derivada (clasificación de puntos críticos)
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Derivadas segundas de un polinomio
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Hessiano y clasificación de puntos críticos
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

Teoría matemática

Idea para el alumno

Derivar dos veces es derivar la derivada. En varias variables, hay varias "segundas derivadas": $\partial^2 f/\partial x^2$, $\partial^2 f/\partial y^2$ y las cruzadas $\partial^2 f/\partial x \partial y$ y $\partial^2 f/\partial y \partial x$.

Notación

$$f_{xx} := \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\qquad f_{yy} := \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\qquad f_{xy} := \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\qquad f_{yx} := \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.$$

Teorema de Clairaut (igualdad de derivadas cruzadas)

Si $f$, $f_x$, $f_y$, $f_{xy}$ y $f_{yx}$ existen y son continuas en un abierto que contiene al punto, entonces:

$$f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b).$$

Cómo se lee: si las derivadas son "razonablemente amables" (continuas), el orden de derivación no importa. En la práctica, esto significa que basta calcular una de las cruzadas.

Matriz Hessiana

$$H_f(x,y) := \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.$$

Bajo las hipótesis de Clairaut, $H_f$ es simétrica. El Hessiano juega el papel de la segunda derivada en una variable: indica curvatura.

Criterio de la segunda derivada (clasificación de puntos críticos)

Sea $(a,b)$ un punto crítico ($\nabla f = 0$). Sea $D := f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ (el determinante del Hessiano).

• $D > 0$, $f_{xx} > 0$. Clasificación: mínimo local.
• $D > 0$, $f_{xx} < 0$. Clasificación: máximo local.
• $D < 0$ (cualquiera). Clasificación: punto silla.
• $D = 0$ (cualquiera). Clasificación: inconclusive (usar otro método).

Visualización

• Figura 1 — Curvatura Funcion 3d. Mensaje: "La segunda derivada mide cómo se curva la superficie".
• Figura 2 — Derivadas Segundo Orden Cruzadas. Mensaje: "Hay tres tipos de segundas derivadas".
• Figura 3 — Punto Silla. Mensaje: "Hay puntos críticos que no son ni mínimo ni máximo".
• Figura 4 — Hessiano Punto Critico. Mensaje: "El Hessiano codifica la curvatura local".

Ejemplo Forma 1: Derivadas segundas de un polinomio

Problema

$$f(x,y) = x^3 + 2x^2 y + 3xy^2 + y^3 - x - y.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Función polinómica de grado 3, con productos cruzados $x^2 y$, $xy^2$.
• Herramienta. Derivar dos veces término a término; comparar $f_{xy}$ con $f_{yx}$ para verificar Clairaut.
• Bifurcación. Paso 3: aparece la igualdad de derivadas cruzadas como herramienta de verificación.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Primeras derivadas:

$$f_x = 3x^2 + 4xy + 3y^2 - 1,\qquad f_y = 2x^2 + 6xy + 3y^2 - 1.$$

2. Derivadas segundas:

$$\begin{aligned} f_{xx} &= \partial/\partial x (3x^2 + 4xy + 3y^2 - 1) = 6x + 4y, \\ f_{yy} &= \partial/\partial y (2x^2 + 6xy + 3y^2 - 1) = 6x + 6y, \\ f_{xy} &= \partial/\partial y (3x^2 + 4xy + 3y^2 - 1) = 4x + 6y, \\ f_{yx} &= \partial/\partial x (2x^2 + 6xy + 3y^2 - 1) = 4x + 6y. \end{aligned}$$

3. Verificación de Clairaut: $f_{xy} = f_{yx} = 4x + 6y$. ✓

4. Evaluación en $(1,1)$: $f_{xx}=10$, $f_{yy}=12$, $f_{xy}=f_{yx}=10$. ✓

5. Comprobación numérica con $h=0.001$ sobre $(1,1)$: $f_x(1,1) = 9$. Con $h=0.001$: $f_x(1.001, 1) \approx 9.010$. Cociente: $\approx 10$. ✓

• $f_x$. Fórmula: $3x^2 + 4xy + 3y^2 - 1$. Valor en $(1,1)$: $9$.
• $f_y$. Fórmula: $2x^2 + 6xy + 3y^2 - 1$. Valor en $(1,1)$: $10$.
• $f_{xx}$. Fórmula: $6x + 4y$. Valor en $(1,1)$: $10$.
• $f_{yy}$. Fórmula: $6x + 6y$. Valor en $(1,1)$: $12$.
• $f_{xy}$. Fórmula: $4x + 6y$. Valor en $(1,1)$: $10$.
• $f_{yx}$. Fórmula: $4x + 6y$. Valor en $(1,1)$: $10$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Olvidar la regla del producto en la primera derivada ($3x^2$ deriva a $6x$, no a $3$).
• Asumir que $f_{xy} \neq f_{yx}$ sin verificar (suele ser un error de cuenta, no de teoría).
• Confundir el orden de derivación: el subíndice $xy$ significa "primero $x$, después $y$".

Ejemplo Forma 2: Hessiano y clasificación de puntos críticos

Problema

$$f(x,y) = x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 8y + 5.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Función cuadrática con término cruzado ($f_{xy}\neq 0$).
• Herramienta. Resolver $\nabla f = 0$ (sistema lineal) + evaluar el Hessiano + clasificar por el signo de $D$ y $f_{xx}$.
• Bifurcación. Paso 3: aparece el criterio de la segunda derivada como tabla de decisión.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Primeras derivadas:

$$f_x = 2x + 2y - 4,\qquad f_y = 2x + 6y - 8.$$

2. Punto crítico ($\nabla f = 0$):

$$\begin{cases} 2x + 2y = 4 \\ 2x + 6y = 8 \end{cases} \Rightarrow \text{restando: } 4y = 4 \Rightarrow y = 1,\quad x = 1.$$

3. Punto crítico: $(1,1)$.

4. Segundas derivadas:

$$f_{xx} = 2,\quad f_{yy} = 6,\quad f_{xy} = f_{yx} = 2.$$

5. Determinante del Hessiano en $(1,1)$:

$$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (2)(6) - (2)^2 = 12 - 4 = 8 > 0.$$

6. Clasificación: como $D > 0$ y $f_{xx} = 2 > 0$, el punto crítico $(1,1)$ es un mínimo local.

7. Verificación numérica: $f(1,1) = 1 + 2 + 3 - 4 - 8 + 5 = -1$. $f(1.1, 1) \approx -0.99$, $f(0.9, 1) \approx -0.99$. Ambos mayores que $-1$, confirmando el mínimo. ✓

• Punto crítico. Valor: $(1, 1)$.
• $f_{xx}$. Valor: $2$.
• $f_{yy}$. Valor: $6$.
• $f_{xy}$. Valor: $2$.
• $D$. Valor: $8$.
• Clasificación. Valor: mínimo local.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Resolver mal el sistema $\nabla f = 0$ (signo invertido, ecuaciones mezcladas).
• Olvidar evaluar $f_{xx}$ en el punto crítico (no en $(0,0)$).
• Clasificar un punto silla como mínimo (error de signo en $D$).