Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno
  • Criterio del Hessiano
  • Extremos con restricción: multiplicadores de Lagrange
  • Idea geométrica (Lagrange)
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Extremos libres (Hessiano)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Extremos con restricción (Lagrange)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Errores comunes transversales

Teoría matemática

Idea para el alumno

Encontrar extremos (máximos y mínimos) de una función $f(x, y)$ requiere dos pasos: (1) localizar los puntos críticos ($\nabla f = 0$), (2) clasificarlos con el Hessiano. Si hay una restricción $g(x, y) = c$, el método se extiende con los multiplicadores de Lagrange.

Criterio del Hessiano

Sea $f$ dos veces continuamente diferenciable en un entorno de un punto crítico $(a, b)$ (es decir, $\nabla f(a, b) = 0$). Sea $H(a, b)$ la matriz Hessiana y

$$D = \det H(a, b) = f_{xx}(a, b)\,f_{yy}(a, b) - \bigl(f_{xy}(a, b)\bigr)^2.$$

La clasificación es:

Condición	Clasificación
$D > 0$ y $f_{xx} > 0$	Mínimo local
$D > 0$ y $f_{xx} < 0$	Máximo local
$D < 0$	Punto silla (no es extremo)
$D = 0$	Criterio no decide; hay que analizar más

Cómo se lee: el signo del determinante del Hessiano indica la "concavidad" local; el signo de $f_{xx}$ distingue entre mínimo y máximo.

Extremos con restricción: multiplicadores de Lagrange

Para maximizar o minimizar $f(x, y)$ sujeto a $g(x, y) = c$:

1. Plantear el Lagrangiano: $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda\bigl(g(x, y) - c\bigr)$.
2. Resolver el sistema $\nabla L = 0$:

$$\begin{cases} f_x - \lambda\, g_x = 0 \\ f_y - \lambda\, g_y = 0 \\ g(x, y) - c = 0 \end{cases}$$

3. El parámetro $\lambda$ es el multiplicador de Lagrange; geométricamente, $\nabla f = \lambda \nabla g$ en el óptimo (los gradientes son paralelos).

Idea geométrica (Lagrange)

En el óptimo restringido, la superficie de nivel $f = k$ y la curva de restricción $g = c$ son tangentes. Esto se traduce algebraicamente en que $\nabla f$ y $\nabla g$ son paralelos ($\nabla f = \lambda \nabla g$).

Idea-fuerza

"Extremos libres" usan Hessiano; "extremos restringidos" usan Lagrange. Ambos son problemas de sistemas de ecuaciones que se reducen a álgebra lineal o a la búsqueda de puntos críticos.

Visualización

#	Figura	Mensaje
1		"Superficie con mínimo, máximo y silla visibles"
2		"Vista superior con puntos críticos marcados"
3		"Curvas de nivel y restricción tangentes"

Ejemplo Forma 1: Extremos libres (Hessiano)

Problema

$$f(x, y) = x^3 - 3x + y^2.$$

Clasificar todos los puntos críticos.

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Función dos veces diferenciable, dominio todo $\mathbb{R}^2$.
• Herramienta. Resolver $\nabla f = 0$ y clasificar con Hessiano.
• Bifurcación. Paso 2: aparece la clasificación (no todos los puntos críticos son extremos).

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Gradiente:

$$f_x = 3x^2 - 3,\qquad f_y = 2y.$$

2. Puntos críticos ($\nabla f = 0$):

$$3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1,\qquad 2y = 0 \Rightarrow y = 0.$$

Puntos críticos: $(1, 0)$ y $(-1, 0)$.

3. Hessiano:

$$f_{xx} = 6x,\quad f_{yy} = 2,\quad f_{xy} = 0.$$

4. Clasificación en $(1, 0)$:

$$D = (6)(2) - 0^2 = 12 > 0,\quad f_{xx} = 6 > 0 \Rightarrow \text{mínimo local}.$$

5. Clasificación en $(-1, 0)$:

$$D = (-6)(2) - 0^2 = -12 < 0 \Rightarrow \text{punto silla}.$$

6. Valores:

$$f(1, 0) = 1 - 3 + 0 = -2,\qquad f(-1, 0) = -1 + 3 + 0 = 2.$$

Punto	$D$	$f_{xx}$	Clasificación	Valor
$(1, 0)$	$12$	$6$	Mínimo local	$-2$
$(-1, 0)$	$-12$	$-6$	Punto silla	$2$

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Asumir que todo punto crítico es mínimo (puede ser máximo o silla).
• Calcular mal el Hessiano (olvidar un término).
• No verificar el signo de $f_{xx}$ cuando $D > 0$.

Ejemplo Forma 2: Extremos con restricción (Lagrange)

Problema

Maximizar $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ sujeto a $x + y = 4$.

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Función objetivo $f$ + restricción $g = c$.
• Herramienta. Plantear $L = f - \lambda(g - c)$ y resolver $\nabla L = 0$ (sistema de 3 ecuaciones).
• Bifurcación. Paso 1: aparece una variable auxiliar $\lambda$ (no estaba en el problema original). El sistema crece de 2 a 3 ecuaciones.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Lagrangiano:

$$L(x, y, \lambda) = x^2 + 2y^2 - \lambda(x + y - 4).$$

2. Condiciones $\nabla L = 0$:

$$\begin{aligned} \partial L/\partial x &= 2x - \lambda = 0 \;\Rightarrow\; x = \lambda/2, \\ \partial L/\partial y &= 4y - \lambda = 0 \;\Rightarrow\; y = \lambda/4, \\ \partial L/\partial \lambda &= -(x + y - 4) = 0 \;\Rightarrow\; x + y = 4. \end{aligned}$$

3. Sustitución de las dos primeras en la tercera:

$$\frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{4} = 4 \;\Rightarrow\; \frac{3\lambda}{4} = 4 \;\Rightarrow\; \lambda = 16/3.$$

4. Punto candidato:

$$x = 8/3,\quad y = 4/3.$$

5. Valor:

$$f(8/3, 4/3) = (8/3)^2 + 2(4/3)^2 = 64/9 + 32/9 = 96/9 = 32/3 \approx 10{,}67.$$

6. Verificación geométrica: las curvas de nivel $f = c$ son elipses centradas en el origen; la recta $x + y = 4$ es tangente a la elipse $f = 32/3$ en $(8/3, 4/3)$. ✓

7. Verificación algebraica de la condición de Lagrange:

$$\nabla f(8/3, 4/3) = (16/3, 16/3),\qquad \nabla g = (1, 1).$$

$\nabla f = \lambda \nabla g$ con $\lambda = 16/3$: ✓ (ambos componentes coinciden).

Cantidad	Valor
$\lambda$	$16/3$
$x^*$	$8/3$
$y^*$	$4/3$
$f(x^*, y^*)$	$32/3 \approx 10{,}67$

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Olvidar la restricción $g = c$ al formar $\nabla L = 0$ (suele ser la tercera ecuación).
• Asumir que el punto crítico de Lagrange es mínimo o máximo sin comparar con otros candidatos o con la frontera.
• Perder una solución: el sistema puede tener varios puntos críticos (especialmente con restricciones no lineales).

Errores comunes transversales

1. Asumir que todo punto crítico es extremo: verificar con el Hessiano (Forma 1) o con la naturaleza de la restricción (Forma 2).
2. Olvidar la restricción en Lagrange: el sistema tiene 3 ecuaciones, no 2.
3. No comparar valores entre candidatos en Lagrange (puede haber varios óptimos restringidos).
4. Concluir cuando $D = 0$: el criterio no decide; hay que analizar más a fondo (puede ser extremo degenerado, inflexión, etc.).