Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno
  • Definición formal
  • Aproximación lineal
  • Propagación de errores
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Cálculo de la diferencial total por gradiente
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Propagación de errores de medición
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

Teoría matemática

Idea para el alumno

Si $f(x,y)$ cambia cuando $x$ e $y$ cambian, el cambio total de $f$ es la suma de los cambios debidos a cada variable, corregidos por sus derivadas parciales:

$$df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.$$

Es la generalización natural de la diferencial de una variable: en lugar de "una $dx$", ahora hay dos contribuciones ($dx$ y $dy$), cada una ponderada por su derivada parcial.

Definición formal

Si $f$ es diferenciable en $(a,b)$, el diferencial total es:

$$df(a,b) := f_x(a,b)\,dx + f_y(a,b)\,dy.$$

Cómo se lee: un cambio pequeño $dx$ en $x$ produce un cambio $f_x \, dx$ en $f$; un cambio pequeño $dy$ en $y$ produce un cambio $f_y \, dy$. El cambio total es la suma (válido en primera aproximación).

Aproximación lineal

Si $f$ es diferenciable,

$$f(a+dx,\, b+dy) \approx f(a,b) + df(a,b) = f(a,b) + f_x(a,b)\,dx + f_y(a,b)\,dy.$$

Esta aproximación es exacta en el límite $(dx, dy) \to (0,0)$ y es buena para cambios pequeños.

Propagación de errores

Si $x$ e $y$ se miden con incertidumbre $(\Delta x, \Delta y)$, la incertidumbre propagada a $f$ es:

$$\Delta f \approx |f_x|\,\Delta x + |f_y|\,\Delta y \quad \text{(caso pesimista)}.$$

Variantes más finas usan la suma cuadrática (independencia estadística):

$$\Delta f \approx \sqrt{(f_x\,\Delta x)^2 + (f_y\,\Delta y)^2}.$$

Idea-fuerza

La diferencial total es una función lineal de $(dx, dy)$, pero captura el comportamiento local de $f$ cerca de un punto. Es la base de la aproximación lineal y del análisis de errores.

Visualización

• Figura 1 — Diferencial Plano Tangente. Mensaje: "El plano tangente es la diferencial total".
• Figura 2 — Incremento Aproximado Vs Exacto. Mensaje: "La aproximación lineal es exacta en el límite y buena cerca".
• Figura 3 — Propagacion Errores Sup. Mensaje: "La incertidumbre se propaga como una elipse en el plano $(x,y)$".

Ejemplo Forma 1: Cálculo de la diferencial total por gradiente

Problema

$$f(x,y) = x^2 y + 3xy^2,\qquad (a,b)=(1,2),\qquad dx=0.01,\ dy=-0.02.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Función polinómica y $(dx, dy)$ pequeños dados.
• Herramienta. Calcular $f_x, f_y$ en el punto + sustitución lineal.
• Bifurcación. Paso 1: las derivadas parciales son constantes en el punto (no se vuelven a evaluar para $(dx, dy)$); la diferencial es lineal.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Derivadas parciales:

$$f_x = 2xy + 3y^2,\qquad f_y = x^2 + 6xy.$$

2. Evaluación en $(1,2)$:

$$f_x(1,2) = 4 + 12 = 16,\qquad f_y(1,2) = 1 + 12 = 13.$$

3. Diferencial total:

$$df = 16 \cdot dx + 13 \cdot dy = 16(0.01) + 13(-0.02) = 0.16 - 0.26 = -0.10.$$

4. Aproximación lineal:

$$f(1.01,\, 1.98) \approx f(1,2) + df = (1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \cdot 4) - 0.10 = 14 - 0.10 = 13.90.$$

5. Valor exacto (para comparar):

$$f(1.01, 1.98) = (1.01)^2 (1.98) + 3(1.01)(1.98)^2 \approx 1.0201 \cdot 1.98 + 3.03 \cdot 3.9204 \approx 2.0198 + 11.8788 = 13.8986.$$

6. Error de la aproximación: $|13.8986 - 13.90| \approx 0.0014$. Pequeño, como se esperaba. Cociente $\Delta f / f(1,2)$: $-0.10 / 14 \approx -0.71\%$.

• $f_x(1,2)$. Valor: $16$.
• $f_y(1,2)$. Valor: $13$.
• $df$. Valor: $-0.10$.
• $f(1.01, 1.98)$ aproximado. Valor: $13.90$.
• $f(1.01, 1.98)$ exacto. Valor: $13.8986$.
• Error de la aproximación. Valor: $\approx 0.0014$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Olvidar evaluar las derivadas parciales en el punto (evaluarlas en $(0,0)$ da cero).
• Sumar $dx$ y $dy$ sin multiplicar por las derivadas parciales (suma sin ponderar).
• Asumir que la aproximación lineal es exacta (solo es exacta en el límite).

Ejemplo Forma 2: Propagación de errores de medición

Problema

$$R = \frac{V}{I},\qquad V = (12.0 \pm 0.1)\,\mathrm{V},\quad I = (2.00 \pm 0.05)\,\mathrm{A}.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Función $R(V,I)$ y incertidumbres $(\Delta V, \Delta I)$ dadas.
• Herramienta. Calcular derivadas parciales, evaluar en el punto nominal, y aplicar fórmula de propagación (lineal o cuadrática).
• Bifurcación. Paso 3: hay dos variantes de propagación; la elección depende de si los errores son sistemáticos correlacionados (lineal) o estadísticos independientes (cuadrático).

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Derivadas parciales de $R(V,I) = V/I$:

$$\frac{\partial R}{\partial V} = \frac{1}{I},\qquad \frac{\partial R}{\partial I} = -\frac{V}{I^2}.$$

2. Evaluación en $(V,I) = (12.0, 2.00)$:

$$\frac{\partial R}{\partial V} = \frac{1}{2.00} = 0.5\,\Omega/\mathrm{V},\qquad \frac{\partial R}{\partial I} = -\frac{12.0}{(2.00)^2} = -3.0\,\Omega/\mathrm{A}.$$

3. Valor nominal: $R_0 = \dfrac{12.0}{2.00} = 6.0\,\Omega$.

4. Propagación pesimista:

$$\Delta R = |0.5| \cdot 0.1 + |-3.0| \cdot 0.05 = 0.05 + 0.15 = 0.20\,\Omega.$$

5. Propagación cuadrática (errores independientes):

$$\Delta R = \sqrt{(0.5 \cdot 0.1)^2 + (3.0 \cdot 0.05)^2} = \sqrt{0.0025 + 0.0225} = \sqrt{0.025} \approx 0.158\,\Omega.$$

• $R_0$. Valor: $6.0\,\Omega$.
• $\partial R/\partial V$. Valor: $0.5\,\Omega/\mathrm{V}$.
• $\partial R/\partial I$. Valor: $-3.0\,\Omega/\mathrm{A}$.
• $\Delta R$ (pesimista). Valor: $0.20\,\Omega$.
• $\Delta R$ (cuadrático). Valor: $\approx 0.158\,\Omega$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Olvidar el valor absoluto en la fórmula pesimista (los signos de las derivadas se cancelan al propagar).
• Usar la fórmula cuadrática cuando los errores son sistemáticos (no independientes).
• Sumar las contribuciones sin ponderar por las derivadas parciales.