Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Definición sobre una caja
  • Fubini 3D: seis órdenes posibles
  • Integral sobre una región sólida
  • Cambios de variable en 3D
  • Tabla resumen
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Masa de una caja con densidad variable
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Masa de un cilindro con huecos
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Errores comunes transversales
• Resumen por versión
  • u3_t5_v0.md — matemática analítica
  • u3_t5_v1.md — verificación numérica
  • u3_t5_v2.md — aplicación automotriz
• Cierre de la Unidad III

Teoría matemática

Definición sobre una caja

Sea $B=[a,b]\times[c,d]\times[p,q]$ una caja rectangular y sea $f$ continua en ella. La partición de cada eje produce pequeños paralelepípedos de volumen $\Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$. La suma de Riemann tridimensional aproxima la cantidad acumulada:

$$\iiint_B f(x,y,z)\,dV=\lim_{m,n,k\to\infty}\sum f(x_i^*,y_j^*,z_k^*)\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z.$$

Cuando $f\ge0$, la integral representa el volumen bajo la hipersuperficie $w=f(x,y,z)$ en el espacio de cuatro dimensiones. En aplicaciones físicas, la misma estructura suma masa, carga, energía o una fuente distribuida.

Fubini 3D: seis órdenes posibles

El teorema de Fubini permite calcular una integral triple mediante integrales iteradas. Sobre una caja y bajo las hipótesis de continuidad, las seis permutaciones de $x$, $y$ y $z$ producen el mismo valor. Por ejemplo:

$$\begin{aligned} \iiint_B f\,dV &=\int_a^b\!\int_c^d\!\int_p^q f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx\\[0.45em] &=\int_c^d\!\int_p^q\!\int_a^b f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy\\[0.45em] &=\int_p^q\!\int_a^b\!\int_c^d f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz. \end{aligned}$$

Las otras tres expresiones se obtienen intercambiando el orden de dos variables. En una caja los límites permanecen constantes; en una región sólida general, los límites de una variable suelen depender de las otras dos.

Integral sobre una región sólida

Si la región $E$ se proyecta sobre una región $R$ del plano $xy$ y queda limitada verticalmente por $z_1(x,y)$ y $z_2(x,y)$, entonces

$$E=\{(x,y,z):(x,y)\in R,\ z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}$$

la integral se organiza como

$$\iiint_E f(x,y,z)\,dV=\iint_R\left(\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)dA.$$

La interpretación geométrica de las integrales múltiples confirma que una integral triple integra una función de tres variables sobre una región de $\mathbb{R}^3$; si $f=1$, el resultado es el volumen de $E$. Si $f=\rho$, el resultado es la masa de un cuerpo con densidad volumétrica $\rho$.

Cambios de variable en 3D

La elección de coordenadas debe seguir la geometría de la región. En coordenadas cilíndricas, un cilindro se describe con intervalos simples para $r$, $\theta$ y $z$. En coordenadas esféricas, una esfera o semiesfera se describe naturalmente con la distancia radial $\rho$, el ángulo polar $\phi$ y el ángulo azimutal $\theta$.

Sistema	Cambio de variables	Elemento de volumen
Cartesiano	$(x,y,z)$	$dV=dx\,dy\,dz$
Cilíndrico	$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $z=z$	$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$
Esférico	$x=\rho\sin\phi\cos\theta$, $y=\rho\sin\phi\sin\theta$, $z=\rho\cos\phi$	$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

El Jacobiano no es un adorno: corrige el volumen de cada celda después del cambio de variables. Omitir $r$ en cilíndricas o $\rho^2\sin\phi$ en esféricas cambia la magnitud calculada.

Tabla resumen

Magnitud distribuida	Integral triple	Unidad típica
Volumen	$V=\iiint_E1\,dV$	m$^3$
Masa	$M=\iiint_E\rho(x,y,z)\,dV$	kg
Carga	$Q=\iiint_E\rho_q(x,y,z)\,dV$	C
Valor promedio	$\bar f=\dfrac{1}{V(E)}\iiint_Ef\,dV$	unidad de $f$

Visualización

#	Figura	Qué muestra
1		Caja tridimensional dividida en celdas; cada celda representa $\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$.
2		Cilindro con su proyección $R$ sobre el plano $xy$ y el intervalo vertical de integración.
3		Dos de los seis órdenes posibles de Fubini 3D sobre una misma caja.

Figura 1. La suma de pequeños volúmenes aproxima la integral triple sobre una caja.

Figura 2. La proyección plana permite organizar una región cilíndrica mediante coordenadas polares.

Figura 3. El orden puede cambiar sobre una caja, pero el valor permanece constante cuando se cumplen las hipótesis de Fubini.

Ejemplo Forma 1: Masa de una caja con densidad variable

Problema

Una batería de auto se modela como una caja

$$B=[0,L_x]\times[0,L_y]\times[0,L_z],\qquad L_x=L_y=0{,}2\ \text{m},\quad L_z=0{,}15\ \text{m}.$$

Su densidad de masa varía con la altura:

$$\rho(x,y,z)=\rho_0(1+\alpha z),$$

donde $\rho_0=1200\ \text{kg/m}^3$ y $\alpha=0{,}5\ \text{m}^{-1}$. Calcular la masa total de la batería.

Resolución

Analítica

La masa es la integral triple de la densidad sobre el volumen de la caja. Como la densidad no depende de $x$ ni de $y$, el cálculo puede separarse después de plantear correctamente los tres límites:

$$M=\int_0^{L_x}\!\int_0^{L_y}\!\int_0^{L_z}\rho_0(1+\alpha z)\,dz\,dy\,dx.$$

Separamos los factores constantes y las variables independientes:

$$\begin{aligned} M&=\rho_0\left(\int_0^{L_x}dx\right)\left(\int_0^{L_y}dy\right)\left(\int_0^{L_z}(1+\alpha z)\,dz\right)\\[0.45em] &=\rho_0L_xL_y\left[z+\frac{\alpha z^2}{2}\right]_0^{L_z}\\[0.45em] &=\rho_0L_xL_y\left(L_z+\frac{\alpha L_z^2}{2}\right). \end{aligned}$$

Al sustituir los datos,

$$\begin{aligned} M&=1200(0{,}2)(0{,}2)\left(0{,}15+\frac{0{,}5(0{,}15)^2}{2}\right)\\[0.45em] &=1200(0{,}04)(0{,}155625)=7{,}47\ \text{kg}. \end{aligned}$$

Explicación. Los factores $L_x$ y $L_y$ son las longitudes de la base, mientras que la integral en $z$ incorpora el aumento lineal de densidad con la altura.

Resultado. La masa total de la batería es

$$\boxed{M\approx7{,}47\ \text{kg}}.$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. La región es una caja y la densidad depende sólo de la coordenada vertical $z$.
• Herramienta. Se aplica Fubini 3D y se separa la integral triple en tres integrales unidimensionales.
• Bifurcación. Después de escribir los tres intervalos, el algoritmo reduce primero las variables $x$ e $y$ a los factores $L_x$ y $L_y$.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

Con densidad uniforme, es decir, tomando $\alpha=0$, se obtiene

$$M_0=\rho_0L_xL_yL_z=1200(0{,}2)(0{,}2)(0{,}15)=7{,}2\ \text{kg}.$$

Como $\alpha>0$, la densidad crece con $z$ y el valor $7{,}47\ \text{kg}$ debe ser mayor que $7{,}2\ \text{kg}$; así ocurre. Además, cualquier orden de integración permitido por Fubini produce el mismo valor porque la región es una caja y la función es continua.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Omitir uno de los factores $L_x$ o $L_y$ al separar la integral.
• Confundir masa, medida en kg, con peso, que sería $M g$ y se mediría en newtons.
• Reemplazar la densidad variable por $\rho_0$ sin comprobar que $\alpha=0$.

Ejemplo Forma 2: Masa de un cilindro con huecos

Problema

Un bloque de motor se aproxima mediante un cilindro exterior de radio $R=0{,}08\ \text{m}$ y altura $H=0{,}15\ \text{m}$. El material es aluminio, con densidad uniforme $\rho_0=2700\ \text{kg/m}^3$. Para representar cuatro alojamientos de pistón, se descuentan $N=4$ cilindros huecos de radio $r=0{,}02\ \text{m}$ y la misma altura $H$. Calcular la masa del cilindro macizo y la masa aproximada después de descontar los huecos.

Resolución

Analítica

La región exterior tiene simetría cilíndrica, por lo que las coordenadas cilíndricas hacen explícito el Jacobiano $r$. Para el cilindro macizo,

$$E_\text{macizo}=\{(r,\theta,z):0\le r\le R,\ 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le z\le H\}.$$

La masa se calcula con $M=\iiint_E\rho_0\,dV$ y $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$:

$$\begin{aligned} M_\text{macizo}&=\int_0^{2\pi}\!\int_0^R\!\int_0^H\rho_0r\,dz\,dr\,d\theta\\[0.45em] &=\rho_0\left(\int_0^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_0^Rr\,dr\right)\left(\int_0^Hdz\right)\\[0.45em] &=\rho_0\pi R^2H. \end{aligned}$$

Numéricamente,

$$M_\text{macizo}=2700\,\pi(0{,}08)^2(0{,}15)\approx8{,}14\ \text{kg}.$$

Para la aproximación con cuatro huecos se resta el volumen de cuatro cilindros de radio $r$:

$$\begin{aligned} V_\text{con huecos}&=\pi R^2H-N\pi r^2H=\pi H(R^2-Nr^2)\\[0.45em] M_\text{con huecos}&=\rho_0\pi H(R^2-Nr^2)\\[0.45em] &=2700\,\pi(0{,}15)\left((0{,}08)^2-4(0{,}02)^2\right)\\[0.45em] &\approx6{,}11\ \text{kg}. \end{aligned}$$

La resta supone que los cuatro huecos están contenidos, no se superponen y atraviesan toda la altura. Es un modelo geométrico simplificado, pero hace visible cómo la región de integración cambia cuando se eliminan volúmenes.

Explicación. En el cilindro macizo, la simetría permite separar los límites en $r$, $\theta$ y $z$. Los huecos se incorporan por diferencia de regiones con la misma densidad.

Resultado.

$$\boxed{M_\text{macizo}\approx8{,}14\ \text{kg},\qquad M_\text{con huecos}\approx6{,}11\ \text{kg}}.$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. La región es un cilindro con cavidades, no una caja rectangular.
• Herramienta. Se eligen coordenadas cilíndricas, cuyo elemento de volumen contiene el Jacobiano $r$, y se usa la diferencia de volúmenes para los huecos.
• Bifurcación. Tras identificar la proyección circular, el algoritmo integra radialmente y luego resta las regiones retiradas en lugar de separar sólo longitudes cartesianas.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

El volumen exterior es

$$V_\text{exterior}=\pi(0{,}08)^2(0{,}15)\approx0{,}003016\ \text{m}^3,$$

y el volumen retirado es

$$V_\text{huecos}=4\pi(0{,}02)^2(0{,}15)\approx0{,}000754\ \text{m}^3.$$

La diferencia es aproximadamente $0{,}002262\ \text{m}^3$; multiplicada por $2700\ \text{kg/m}^3$ produce $6{,}11\ \text{kg}$. También se recupera $8{,}14\ \text{kg}$ si se integra sólo el cilindro exterior. Las unidades son coherentes: densidad por volumen produce masa.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Olvidar el Jacobiano $r$ en $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$.
• Usar el diámetro como si fuera el radio en $\pi R^2H$.
• Restar un área de huecos en vez de un volumen de huecos.
• Restar cuatro veces una cavidad cuando el enunciado no garantiza que sean disjuntas y atraviesen toda la altura.

Errores comunes transversales

Error	Consecuencia	Prevención
Omitir el Jacobiano	Masa, carga o volumen subestimados	Escribir $dV$ completo antes de sustituir la función
Confundir límites de una caja con límites de una región general	Se integra fuera del sólido o se omite material	Dibujar la región y su proyección
Suponer densidad constante sin leer el enunciado	Masa o carga incorrectas	Identificar si $\rho$ depende de $x$, $y$ o $z$
Mezclar $dA$ con $dV$	Se obtiene una magnitud con unidades equivocadas	Comprobar que la medida elemental tenga tres diferenciales
No revisar unidades	El número puede parecer correcto aunque la magnitud no lo sea	Verificar densidad por volumen y masa en kg

Resumen por versión

u3_t5_v0.md — matemática analítica

Incluye la teoría de integrales triples, la visualización y las dos Formas de masa: una caja con densidad variable y un cilindro con huecos.

u3_t5_v1.md — verificación numérica

Incluye los mismos contenidos analíticos y bloques R reproducibles para aproximar las integrales en tres dimensiones.

u3_t5_v2.md — aplicación automotriz

Incluye además el análisis térmico tridimensional del bloque motor, la masa térmica y un mini-ejemplo de energía necesaria para elevar su temperatura.

Cierre de la Unidad III

Las integrales triples completan la extensión del cálculo integral a sólidos: una integral doble puede acumular sobre una superficie plana, mientras que una integral triple acumula sobre un volumen. En el siguiente bloque del curso, las ecuaciones diferenciales permitirán describir cómo evolucionan en el tiempo magnitudes como temperatura, corriente y carga.