Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno
  • Definición formal (épsilon-delta)
  • Rutas de aproximación comunes
  • Teorema de unicidad
  • Funciones continuas
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Límite que existe (función continua en el punto)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Límite que NO existe (rutas distintas)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

Teoría matemática

Idea para el alumno

Un límite de $f(x,y)$ cuando $(x,y)\to (a,b)$ es el valor al que $f$ se acerca cuando nos acercamos al punto $(a,b)$ desde cualquier dirección. Si dos caminos distintos hacia el punto dan valores distintos, el límite no existe.

Definición formal (épsilon-delta)

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L$$

si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, para todo $(x,y)$ con $0<\|(x,y)-(a,b)\|<\delta$, se cumple $|f(x,y)-L|<\varepsilon$.

Cómo se lee en español llano: podemos garantizar que $f(x,y)$ cae dentro de una banda de anchura $2\varepsilon$ alrededor de $L$, siempre que $(x,y)$ esté suficientemente cerca de $(a,b)$.

Rutas de aproximación comunes

• Eje $x$. Ecuación: $y=b$, $x\to a$ — uso típico: descartar dependencia solo en $x$.
• Eje $y$. Ecuación: $x=a$, $y\to b$ — uso típico: descartar dependencia solo en $y$.
• Recta genérica. Ecuación: $y-b = m(x-a)$ — uso típico: descartar dependencia direccional.
• Parábola. Ecuación: $y-b = k(x-a)^2$ — uso típico: atrapar dependencias cuadráticas.
• Cualquier curva continua. Ecuación: $g(t)\to(a,b)$ con $t\to 0$ — uso típico: ruta general.

Teorema de unicidad

Si el límite existe, es único: dos rutas distintas no pueden dar valores distintos. Equivalentemente, si dos rutas dan valores distintos, el límite no existe.

Funciones continuas

Si $f$ es continua en $(a,b)$, entonces $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)$ y el límite existe. La continuidad se "hereda" de las funciones de una variable: suma, producto, cociente (donde esté definido) y composición de funciones continuas son continuas.

Idea-fuerza

Si la fórmula no tiene denominador que se anule ni raíz de algo que se anule, casi siempre es continua y el límite se calcula por sustitución directa. La dificultad está en los casos donde hay una indeterminación ($\tfrac{0}{0}$, etc.).

Visualización

• Figura 1 — Límites y continuidad 2D. Mensaje: "El límite existe si $f$ se mantiene en una banda estrecha alrededor de $L$".
• Figura 2 — Superficie y trayectorias. Mensaje: "Distintos caminos pueden llevar al mismo valor (límite existe) o a valores distintos (límite no existe)".
• Figura 3 — Caminos distintos hacia el mismo punto. Mensaje: "Vista superior con flechas de colores por ruta".
• Figura 4 — Indeterminación por factorización. Mensaje: "Indeterminación $\tfrac{0}{0}$: hay que factorizar para resolver".

Ejemplo Forma 1: Límite que existe (función continua en el punto)

Problema

$$\lim_{(x,y)\to(1,2)} f(x,y),\qquad f(x,y) = 3x^2 y + 5xy^2 - 2.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Función polinómica, continua en todo $\mathbb{R}^2$; no hay denominadores que se anulen.
• Herramienta. Sustitución directa del punto en la fórmula.
• Bifurcación. Paso 1: la continuidad hace todo el trabajo; no se requiere manipulación algebraica previa. Esto se opone a la Forma 2.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Verificar continuidad: $f$ es polinómica, por lo tanto continua en todo $\mathbb{R}^2$.
2. Sustituir $(x,y)=(1,2)$:

$$f(1,2) = 3(1)^2(2) + 5(1)(2)^2 - 2 = 6 + 20 - 2 = 24.$$

3. Verificar en puntos cercanos para tener confirmación numérica.

• Punto $(1.1, 2.1)$. $f(x,y) \approx 29.878$. Distancia a $(1,2)$: $\approx 0.141$.
• Punto $(0.9, 1.9)$. $f(x,y) \approx 18.862$. Distancia a $(1,2)$: $\approx 0.141$.
• Punto $(1.0, 2.0)$. $f(x,y) = 24$. Distancia a $(1,2)$: $0$.

4. A medida que los puntos se acercan a $(1,2)$, el valor de $f$ se acerca a $24$ desde ambas direcciones.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Asumir que siempre hay que hacer manipulación algebraica previa.
• Confundir el orden de evaluación: calcular mal $3x^2 y$ vs $3(xy)^2$.
• Olvidar el signo: si el punto es negativo, mantener el signo al elevar al cuadrado.

Ejemplo Forma 2: Límite que NO existe (rutas distintas)

Problema

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Función con indeterminación $\tfrac{0}{0}$ en el punto.
• Herramienta. Búsqueda de dos rutas que den valores distintos. Si se hallan, el límite no existe.
• Bifurcación. Paso 1: la sustitución directa falla (da $\tfrac{0}{0}$); la herramienta es probar rutas, no simplificar.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Ruta 1: por el eje $x$ ($y=0$).

$$\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot 0}{x^2 + 0^2} = \lim_{x\to 0} \frac{0}{x^2} = 0.$$

2. Ruta 2: por el eje $y$ ($x=0$).

$$\lim_{y\to 0} \frac{0 \cdot y}{0^2 + y^2} = \lim_{y\to 0} \frac{0}{y^2} = 0.$$

3. Ambas rutas dan $0$. Probemos una tercera ruta que sí distinga.

4. Ruta 3: la recta $y=x$.

$$\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot x}{x^2 + x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}.$$

5. ¡Contradicción! Ruta 1 y Ruta 2 dan $0$, Ruta 3 da $\tfrac{1}{2}$. Por el teorema de unicidad, el límite no existe.

• Ruta $y=0$ (eje $x$). Resultado: $0$.
• Ruta $x=0$ (eje $y$). Resultado: $0$.
• Ruta $y=x$. Resultado: $\tfrac{1}{2}$.
• Ruta $y=2x$. Resultado: $\tfrac{2}{5}$.

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} \quad \text{no existe}.$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Decir "el límite es $0$" porque dos rutas coinciden (no basta; hay que probar todas las rutas, o usar el teorema de unicidad en sentido contrario).
• Olvidar la Ruta 3 ($y=x$) que suele ser la más útil para esta familia de cocientes.
• Asumir que, como la función es continua fuera del origen, el límite en el origen tiene que existir.