Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Definición de ecuación diferencial
  • Orden, grado y linealidad
  • Clasificación de ED de primer orden
  • Solución general, particular y singular
  • Problema de valor inicial
  • Tabla resumen
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Verificar una solución de ED
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Hallar una constante a partir de un PVI
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Cierre opcional: clasificar una ED separable
• Errores comunes transversales
• Resumen por versión
  • u4_t1_v0.md — matemática analítica
  • u4_t1_v1.md — verificación numérica
  • u4_t1_v2.md — aplicación automotriz
• Cierre de la Unidad IV

Teoría matemática

Definición de ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una relación matemática que incluye una función desconocida y una o más de sus derivadas. En un modelo físico, la función suele representar una magnitud —por ejemplo, voltaje, temperatura o posición— y la derivada representa su tasa de cambio. Esta interpretación coincide con la definición general de ecuación diferencial como relación entre funciones desconocidas y sus derivadas.

Cuando la función depende de una sola variable independiente, sus derivadas son ordinarias y hablamos de una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si aparecen derivadas respecto de varias variables independientes, se trata de una ecuación diferencial parcial (EDP). En esta unidad se estudian primero EDO.

Tipo	Notación	Ejemplo
EDO	$y'$, $y''$, $\ldots$	$y'+2y=x$
EDP	$\partial u/\partial t$, $\partial^2u/\partial x^2$	$u_t=k u_{xx}$

Orden, grado y linealidad

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor nivel que aparece. El grado es la potencia de esa derivada cuando la ecuación es polinómica en las derivadas; no siempre está definido si aparecen funciones no algebraicas de ellas.

Una EDO es lineal si la función desconocida y sus derivadas aparecen sólo en primer grado, no se multiplican entre sí y sus coeficientes dependen únicamente de la variable independiente. Por ejemplo, $y'+p(x)y=q(x)$ es lineal, mientras que $y'+y^2=0$ no lo es.

Clasificación de ED de primer orden

Una EDO de primer orden contiene como derivada de mayor orden a $y'$. Algunas formas frecuentes son:

Tipo	Forma característica	Idea del método
Separable	$y'=f(x)g(y)$	Separar variables e integrar
Lineal	$y'+p(x)y=q(x)$	Factor integrante
Exacta	$M\,dx+N\,dy=0$, con $M_y=N_x$	Buscar $F(x,y)=C$
Bernoulli	$y'+p(x)y=q(x)y^n$	Sustituir $z=y^{1-n}$
Homogénea	$y'=f(y/x)$	Sustituir $v=y/x$

La clasificación no es un adorno: determina qué transformación reduce la ecuación a una forma integrable. Una misma ecuación puede pertenecer a más de una clase; en ese caso conviene escoger el procedimiento más corto y verificable.

Solución general, particular y singular

Una solución es una función que, al sustituirse en la ecuación, produce una identidad en el intervalo considerado. La solución general contiene constantes arbitrarias y representa una familia de curvas; para una EDO de primer orden suele aparecer una constante $C$.

Una solución particular se obtiene al fijar esas constantes mediante datos adicionales, como $y(x_0)=y_0$. Una solución singular satisface la ecuación, pero no se obtiene de la familia general para ningún valor finito de sus constantes. En un curso introductorio, la verificación por sustitución es el criterio decisivo para aceptar una solución.

Problema de valor inicial

Un problema de valor inicial (PVI) combina una EDO con el valor de la solución en un punto:

$$\begin{cases} y'=f(x,y),\\[0.45em] y(x_0)=y_0. \end{cases}$$

La condición inicial selecciona una curva de la familia de soluciones. El teorema de Picard–Lindelöf y sus condiciones de existencia y unicidad establece condiciones suficientes: continuidad de $f$ y condición de Lipschitz en $y$ alrededor de $(x_0,y_0)$ garantizan una solución única en un intervalo local.

La palabra local es importante: el teorema no afirma automáticamente que la solución exista para todo $x$. Una solución puede dejar de estar definida, crecer sin cota o salir del dominio donde se cumplen las hipótesis.

Tabla resumen

Concepto	Definición breve
EDO	Ecuación con derivadas respecto de una variable
Orden	Mayor derivada presente
Lineal	Combinación lineal de $y$, $y'$, $y''$, $\ldots$
Solución general	Familia $y=y(x,C)$ con constantes arbitrarias
PVI	EDO más una condición $y(x_0)=y_0$
Solución particular	Solución general con sus constantes fijadas
Campo de pendientes	Segmentos con pendiente $f(x,y)$ en cada punto

Visualización

#	Figura	Qué muestra
1		Familia $y=C e^{-x}$ y una curva particular que pasa por el dato inicial.
2		Cómo cambia la solución $y=C e^{-x/2}$ al variar $C$.
3		Campo de pendientes de $y'=-y$ con curvas solución superpuestas.

Figura 1. El PVI selecciona una curva específica dentro de la familia de soluciones.

Figura 2. La constante $C$ modifica la condición inicial y, por tanto, selecciona otra solución.

Figura 3. Cada segmento del campo indica la pendiente que debe seguir una curva solución en ese punto.

Ejemplo Forma 1: Verificar una solución de ED

Problema

Verificar que $y(x)=3e^{-2x}$ es solución de la ecuación diferencial

$$y'+2y=0.$$

Resolución

Analítica

La verificación es distinta de resolver: aquí se entrega una función y se comprueba si satisface la ecuación. Es una operación elemental pero poderosa, porque permite detectar errores de derivación, signos y constantes antes de interpretar el resultado.

Paso 1 — derivar la función. Por la regla de la cadena,

$$y(x)=3e^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad y'(x)=-6e^{-2x}.$$

Paso 2 — sustituir en la ecuación.

$$\begin{aligned} y'+2y&=-6e^{-2x}+2(3e^{-2x})\\[0.45em] &=-6e^{-2x}+6e^{-2x}=0. \end{aligned}$$

La igualdad se cumple para todo $x\in\mathbb{R}$, por lo que la función propuesta sí es solución de la EDO.

Resultado.

$$\boxed{y(x)=3e^{-2x}\text{ satisface }y'+2y=0.}$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Se entrega una función candidata y una ecuación diferencial que debe satisfacer.
• Herramienta. Se deriva la función y se sustituye en la EDO hasta obtener una identidad.
• Bifurcación. El procedimiento termina al comprobar $0=0$; no es necesario despejar una constante ni resolver una familia.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

La derivada segunda es $y''=12e^{-2x}$. Por ello, la misma función también satisface la ecuación auxiliar $y''-4y=0$:

$$y''-4y=12e^{-2x}-4(3e^{-2x})=0.$$

Además, $y(0)=3$ y $y(x)\to0$ cuando $x\to\infty$, comportamientos coherentes con una exponencial decreciente de constante de tiempo $1/2$ en la variable $x$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Olvidar la regla de la cadena y escribir $y' = 3e^{-2x}$.
• Verificar sólo un valor de $x$; una solución debe satisfacer la EDO en un intervalo.
• Confundir la solución particular $3e^{-2x}$ con la familia general $Ce^{-2x}$.

Ejemplo Forma 2: Hallar una constante a partir de un PVI

Problema

Hallar la solución particular del problema de valor inicial

$$\begin{cases} y'=-2y,\\[0.45em] y(0)=5. \end{cases}$$

Resolución

Analítica

El PVI agrega información sobre el estado inicial. Primero se obtiene la familia de soluciones de la EDO; después se usa el dato $y(0)=5$ para escoger una sola curva.

Paso 1 — solución general. La ecuación $y'=-2y$ es separable:

$$\frac{dy}{y}=-2\,dx,$$

si $y\ne0$. Integrando,

$$\ln|y|=-2x+C_1\quad\Longrightarrow\quad y=Ce^{-2x}.$$

La solución $y=0$ queda incluida al tomar $C=0$.

Paso 2 — aplicar el dato inicial.

$$y(0)=Ce^0=C=5.$$

Por tanto, la constante queda fijada en $C=5$.

Resultado.

$$\boxed{y(x)=5e^{-2x}}.$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Además de la EDO, se conoce el valor de la solución en el punto $x_0=0$.
• Herramienta. Se resuelve la familia general y luego se sustituye la condición inicial para determinar $C$.
• Bifurcación. El algoritmo continúa después de integrar: el paso decisivo es seleccionar una curva mediante el PVI.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

La condición inicial se cumple porque $y(0)=5e^0=5$. La derivada es $y'=-10e^{-2x}$ y

$$y'+2y=-10e^{-2x}+2(5e^{-2x})=0.$$

También, $y(1)=5e^{-2}\approx0{,}6767$ y $y(2)=5e^{-4}\approx0{,}0916$. La magnitud disminuye hacia cero, como predice el signo negativo de la ecuación $y'=-2y$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Aplicar $y(0)=5$ directamente a la EDO en lugar de aplicarlo a la solución general.
• Pensar que $C=y(0)$ en cualquier ecuación; aquí ocurre porque $e^{-2(0)}=1$.
• Dividir por $y$ y olvidar comprobar después la solución constante $y=0$ en problemas donde pueda ser relevante.

Cierre opcional: clasificar una ED separable

Consideremos

$$y'=\frac{x}{y}.$$

Al multiplicar por $y\,dx$, queda $y\,dy=x\,dx$. Las variables se separan, por lo que la ecuación es de tipo separable. Integrando,

$$\int y\,dy=\int x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C.$$

Así, la familia implícita es

$$\boxed{y^2-x^2=K},$$

donde $K=2C$. Sus curvas son hipérbolas en las regiones donde $y\ne0$, que es precisamente el dominio original de la ecuación $y'=x/y$.

Errores comunes transversales

Error	Consecuencia	Prevención
Confundir EDO con EDP	Elegir un método para el tipo equivocado	Contar las variables independientes
Aceptar una función sin sustituirla	No se sabe si realmente es solución	Verificar derivada y ecuación
Confundir orden con grado	Clasificación incorrecta	Identificar primero la derivada de mayor orden
Fijar $C$ antes de obtener la solución general	Se pierde la familia de soluciones	Resolver o integrar primero y aplicar después el dato
Dividir por una expresión que puede ser cero	Se pierden soluciones	Revisar los casos excluidos
Interpretar una solución local como global	Usar la curva fuera de su dominio	Revisar hipótesis, dominio e intervalo

Resumen por versión

u4_t1_v0.md — matemática analítica

Incluye definiciones, clasificación, solución general y PVI, además de la verificación de una solución, la determinación de una constante y el cierre opcional separable.

u4_t1_v1.md — verificación numérica

Conserva la espina dorsal analítica y añade aproximaciones reproducibles con deSolve::ode para comparar las soluciones numéricas con las expresiones exactas.

u4_t1_v2.md — aplicación automotriz

Conserva los bloques anteriores y añade la lectura de las EDO como modelos de circuitos RC, enfriamiento del motor y sistemas dinámicos del vehículo.

Cierre de la Unidad IV

Las ecuaciones diferenciales convierten una ley de cambio en una predicción de evolución. Reconocer el tipo de ecuación, verificar una solución y usar correctamente un PVI son habilidades previas a los métodos de separación, factor integrante, ecuaciones exactas y Bernoulli.