Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • ED lineal de 2º orden con coeficientes constantes
  • Ecuación característica
  • Solución homogénea según las raíces
  • Coeficientes indeterminados: el "guess" para y_p
  • Tabla resumen
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1 — ED homogénea y'' - 3y' + 2y = 0
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2 — ED completa y'' - 3y' + 2y = 4x
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Cierre opcional: Resonancia con q = e^x
  • Problema
  • Procedimiento (resumen)
  • Lección
• Errores comunes transversales
• Resumen por versión
  • u5_t1_v0.md — matemática analítica
  • u5_t1_v1.md — añade verificación numérica
  • u5_t1_v2.md — añade análisis automotriz

Teoría matemática

ED lineal de 2º orden con coeficientes constantes

La forma estándar es:

$$y'' + a\,y' + b\,y = q(x)$$

donde a y b son constantes reales y q(x) es una función continua. Esta es la ED lineal de orden 2 más importante en ingeniería: modela circuitos RLC, sistemas masa-resorte-amortiguador, vibraciones mecánicas y sistemas de control.

Ecuación característica

La ecuación característica se obtiene reemplazando y → e^{rx}:

$$r^2 + a\,r + b = 0$$

Las raíces r_1, r_2 se calculan con la fórmula general:

$$r = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$$

Solución homogénea según las raíces

La solución homogénea y_h (con q = 0) depende del discriminante Δ = a² - 4b:

Raíces	Solución homogénea y_h
r_1 ≠ r_2 reales	C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
r_1 = r_2 = r (doble)	C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx}
r = α ± βi complejas conjugadas	e^{αx} (C_1 cos βx + C_2 sin βx)

Coeficientes indeterminados: el "guess" para y_p

Para ciertas formas de q(x), se puede adivinar la forma de y_p y resolver los coeficientes por sustitución:

q(x)	Guess para y_p
P_n(x) (polinomio grado n)	A_n x^n + ... + A_0
C e^{kx} (con k ≠ r_1, r_2)	A e^{kx}
C cos βx + D sin βx	A cos βx + B sin βx
Combinaciones	Sumas / productos de los anteriores

Regla crítica: si el guess coincide con un término de y_h (resonancia), multiplicar por x (o x²) hasta que sea linealmente independiente.

Tabla resumen

Concepto	Fórmula / idea
Ecuación característica	r² + a r + b = 0
Solución homogénea	Según tabla de raíces
Solución general	y = y_h + y_p
Guess particular	Según tabla de q(x)
Resonancia	Si el guess coincide con y_h, multiplicar por x

Visualización

#	Figura	Qué muestra
1	u5_t1_homogenea_caracteristica_2orden.png	Solución y_h con r_1, r_2 reales distintas; las dos exponenciales y su combinación.
2	u5_t1_particular_termino_forzado.png	y_p "siguiendo" a q(x) mientras y_h decae.
3	u5_t1_resonancia_solucion_total.png	Caso de resonancia: y_p crece sin límite (exponencial amplificada por x).

Ejemplo Forma 1 — ED homogénea y'' - 3y' + 2y = 0

Problema

Resolver y'' - 3y' + 2y = 0 con y(0) = 0 y y'(0) = 1.

Resolución

Analítica

Es la Forma 1 "clásica": ED lineal de 2º orden homogénea con coeficientes constantes. La solución sale completamente de la ecuación característica, sin necesidad de "adivinar" nada (porque q = 0, no hay particular).

Procedimiento.

Paso 1 — ecuación característica:

$$r^2 - 3r + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-1)(r-2) = 0 \quad\Rightarrow\quad r_1 = 1,\ r_2 = 2$$

Paso 2 — solución homogénea (raíces reales distintas):

$$y_h(x) = C_1\,e^x + C_2\,e^{2x}$$

Paso 3 — aplicar el PVI:

y(0) = C_1 + C_2 = 0 ⇒ C_2 = -C_1.

y'(x) = C_1 e^x + 2 C_2 e^{2x}, por lo que y'(0) = C_1 + 2 C_2 = 1. Con C_2 = -C_1:

$$C_1 - 2 C_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad -C_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -1, \quad C_2 = 1$$

Resultado.

$$\boxed{y(x) = -e^x + e^{2x}}$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato: la ED tiene 2 raíces reales distintas. La solución es una combinación de dos exponenciales.
• Herramienta: la ecuación característica r² + a r + b = 0 siempre se resuelve con la fórmula general r = (-a ± √(a² - 4b))/2.
• Bifurcación: si las dos raíces tuvieran el mismo signo, la solución diverge; si tuvieran signos opuestos, hay un término que crece y otro que decae (sistema con un modo estable y otro inestable).

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Sustitución directa: y' = -e^x + 2e^{2x}, y'' = -e^x + 4e^{2x}. La ED da:

$$y'' - 3y' + 2y = (-e^x + 4e^{2x}) - 3(-e^x + 2e^{2x}) + 2(-e^x + e^{2x})$$ $$= (-1 + 3 - 2) e^x + (4 - 6 + 2) e^{2x} = 0 \checkmark$$

• Régimen: y → ∞ cuando x → ∞ (la exponencial e^{2x} domina, con raíz r_2 = 2 > 0).

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Errar el signo en la ecuación característica: r² + a r + b vs. r² - a r + b (los signos importan: hay que escribir la ED en forma estándar primero).
• Olvidar el caso de raíces dobles: si Δ = 0, la solución incluye el término x e^{rx} adicional.
• Aplicar condiciones iniciales a la ecuación característica: las PVI van en la solución, no en r.

Ejemplo Forma 2 — ED completa y'' - 3y' + 2y = 4x

Problema

Resolver y'' - 3y' + 2y = 4x con PVI arbitrarios (dejamos C_1, C_2 libres).

Resolución

Analítica

Es el caso "didáctico" del método de coeficientes indeterminados: q(x) = 4x es un polinomio de grado 1, así que adivinamos y_p como polinomio de grado 1. La particular es lineal, lo que contrasta con las dos exponenciales de la homogénea.

Procedimiento.

Paso 1 — solución homogénea (igual a Ejemplo Forma 1):

$$y_h = C_1\,e^x + C_2\,e^{2x}$$

Paso 2 — guess particular. q(x) = 4x es polinomio grado 1. Guess:

$$y_p = Ax + B$$

Paso 3 — sustituir y resolver. Con y_p' = A y y_p'' = 0:

$$0 - 3A + 2(Ax + B) = 4x \quad\Rightarrow\quad 2Ax + (2B - 3A) = 4x$$

Comparar coeficientes:

• Coeficiente de x: 2A = 4 ⇒ A = 2.
• Coeficiente independiente: 2B - 3A = 0 ⇒ 2B = 6 ⇒ B = 3.

Paso 4 — escribir la particular:

$$y_p(x) = 2x + 3$$

Paso 5 — solución general:

$$y(x) = C_1\,e^x + C_2\,e^{2x} + 2x + 3$$

Resultado.

$$\boxed{y(x) = C_1\,e^x + C_2\,e^{2x} + 2x + 3}$$

(La particular es lineal; la homogénea son dos exponenciales.)

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Bifurcación por tipo de q(x):

Si q es un polinomio de grado n	Guess polinomio grado n
Si q = e^{kx} con k ≠ r_1, r_2	Guess A e^{kx}
Si q = e^{kx} con k = r_1 o r_2	Guess A x e^{kx} (resonancia)
Si q es combinación	Sumar los guesses

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Sustitución: y_p' = 2, y_p'' = 0. La ED da 0 - 6 + 2(2x+3) = -6 + 4x + 6 = 4x ✓.
• Régimen permanente: y_p → ∞ cuando x → ∞ (la particular es lineal, no acotada).

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Asumir que el guess siempre funciona sin verificar: a veces hay que multiplicar por x si hay superposición con y_h (resonancia).
• Olvidar las constantes C_1, C_2: la solución general siempre tiene 2 constantes para una ED de 2º orden.
• Confundir particular con homogénea: la particular es la que "cancela" q(x); la homogénea es la que satisface la ED con q = 0.

Cierre opcional: Resonancia con q = e^x

Problema

Resolver y'' - 3y' + 2y = e^x. Note que e^x es una solución de la homogénea (porque r = 1 es raíz de la característica).

Procedimiento (resumen)

Paso 1 — homogénea: y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}.

Paso 2 — guess. Si probamos y_p = A e^x, al sustituir:

$$y_p' = A e^x,\quad y_p'' = A e^x$$ $$A e^x - 3A e^x + 2A e^x = 0 \neq e^x \quad\text{!Falla!}$$

Porque e^x es solución homogénea, L(e^x) = 0.

Paso 3 — modificar el guess, multiplicar por x:

$$y_p = A x e^x$$

Sustituyendo: y_p' = A e^x (1 + x), y_p'' = A e^x (2 + x). La ED da A e^x · (-1) = e^x, luego A = -1.

Paso 4 — particular y general:

$$\boxed{y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x}$$

Lección

Cuando q(x) es solución de la homogénea, el guess "normal" falla y hay que multiplicar por x (o más si la multiplicidad es mayor). Esto modela la resonancia en circuitos sintonizados y en sistemas mecánicos: el término -x e^x crece sin límite, lo que corresponde a una oscilación de amplitud creciente.

Errores comunes transversales

#	Error	Consecuencia	Cómo evitarlo
1	Confundir la ecuación característica r² + a r + b	Raíces incorrectas	Escribir siempre la ED en forma estándar antes de sacar r
2	Olvidar el caso de raíces complejas	Sólo considerar reales	Si a² - 4b < 0, las raíces son complejas
3	No modificar el guess cuando coincide con y_h	Solución particular = 0 (falso)	Si el guess falla, multiplicar por x
4	Asumir q "cualquiera"	El método no funciona	Coeficientes indeterminados sólo para q específicas
5	En automoción, ignorar la masa no suspendida	Modelo incompleto	Para análisis detallado, usar 2 masas (suspendida + no) → 4º orden

Resumen por versión

u5_t1_v0.md — matemática analítica

• Teoría (ED 2º orden, característica, solución homogénea, coeficientes indeterminados).
• Visualización con 3 figuras.
• Ejemplo Forma 1 (homogénea y'' - 3y' + 2y = 0): y = -e^x + e^{2x}.
• Ejemplo Forma 2 (completa con polinomio q = 4x): y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + 2x + 3.
• Cierre opcional: Resonancia con q = e^x: y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x.

u5_t1_v1.md — añade verificación numérica

• Bloque ##### Programación numérica con R (deSolve::ode para sistemas de 1er orden) en cada Forma.

u5_t1_v2.md — añade análisis automotriz

• Sección "Suspensión y vibraciones del motor" con el mini-ejemplo desarrollado.
• Glosario automotriz completo.
• Tabla de frecuencias naturales típicas por tipo de vehículo.