Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • El atajo fundamental
  • Área entre dos curvas
  • Inversión del orden de integración
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Área entre una parábola y una recta
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Área entre dos parábolas
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Errores comunes transversales

Teoría matemática

El atajo fundamental

Para toda región medible $R$,

$$\operatorname{Area}(R)=\iint_R1\,dA=\iint_RdA.$$

La integral de una función general mide un volumen bajo una superficie; cuando la función es $1$, ese volumen coincide con el área de la base.

Área entre dos curvas

Si $R$ está limitada por $y=f(x)$ arriba y $y=g(x)$ abajo, para $a\le x\le b$,

$$\operatorname{Area}(R)=\int_a^b\!\int_{g(x)}^{f(x)}1\,dy\,dx=\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx.$$

La condición esencial es identificar correctamente las intersecciones y verificar cuál curva queda arriba en todo el intervalo.

Inversión del orden de integración

Una región puede describirse como tipo I, con límites verticales, o tipo II, con límites horizontales. Al invertir el orden no basta intercambiar diferenciales: hay que volver a describir la región.

• Tipo I. Forma de los puntos: $a\le x\le b$, $g_1(x)\le y\le g_2(x)$.
• Tipo II. Forma de los puntos: $c\le y\le d$, $h_1(y)\le x\le h_2(y)$.

Idea-fuerza

Dibuja primero, encuentra las intersecciones y elige el orden que recorra la región con menos particiones. El área no depende del orden; la dificultad del cálculo sí puede depender de él.

Visualización

• Figura 1 — Área de la región entre dos curvas.

  

  Figura 1. El área entre dos curvas se integra como la resta de la región superior menos la inferior sobre cada corte vertical.

• Figura 2 — Región y límites variables.

  

  Figura 2. La misma región admite dos descripciones de límites: tipo I ($y$ recorre desde una función hasta otra) y tipo II ($x$ recorre entre funciones inversas).

• Figura 3 — Inversión del orden de integración.

  

  Figura 3. Cuando una descripción acumula dificultades, invertir el orden de integración suele destrabar el cálculo con el mismo valor final.

Ejemplo Forma 1: Área entre una parábola y una recta

Problema

Hallar el área limitada por $y=x^2$ y $y=1$.

Resolución

Analítica

Las intersecciones satisfacen $x^2=1$, de modo que $x=-1$ y $x=1$. En $x=0$, la recta $y=1$ está arriba de la parábola.

$$\begin{aligned} A&=\int_{-1}^{1}\!\int_{x^2}^{1}1\,dy\,dx\\[0.45em] &=\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx\\[0.45em] &=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{4}{3}. \end{aligned}$$

Resultado. $A=\frac43\ \text{u}^2$.

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Hay una curva superior y una inferior con intersecciones fáciles de hallar.
• Herramienta. Se usa $\iint_R1\,dA$ y se reduce a diferencia de funciones.
• Bifurcación. El primer paso es localizar los cortes antes de establecer los límites.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

En orden inverso, $0\le y\le1$ y $-\sqrt y\le x\le\sqrt y$:

$$\int_0^1\!\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}1\,dx\,dy=\int_0^12\sqrt y\,dy=\frac43.$$

La simetría respecto del eje $y$ confirma que el resultado debe ser el doble del área sobre $[0,1]$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Confundir la curva superior y producir un área negativa.
• Integrar únicamente de $0$ a $1$ y olvidar la simetría.
• Confundir $\iint_R1\,dA$ con la integral de $1$ sobre un intervalo unitario.

Ejemplo Forma 2: Área entre dos parábolas

Problema

Hallar el área limitada por $y=x^2$ y $y=2-x^2$.

Resolución

Analítica

Las curvas se cortan cuando $2x^2=2$, es decir, en $x=\pm1$. Entre esos valores, $2-x^2$ está arriba y $x^2$ abajo. El orden tipo I es el más directo:

$$\begin{aligned} A&=\int_{-1}^{1}\!\int_{x^2}^{2-x^2}1\,dy\,dx\\[0.45em] &=\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx\\[0.45em] &=2\left[2x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^1=\frac83. \end{aligned}$$

Resultado. $A=\frac83\ \text{u}^2\approx2{,}667\ \text{u}^2$.

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Las dos fronteras son curvas y forman una lente simétrica.
• Herramienta. Se comparan las descripciones tipo I y tipo II antes de integrar.
• Bifurcación. La elección del orden se convierte en una decisión geométrica; aquí tipo I evita partir.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

La región está dentro de $[-1,1]\times[0,2]$, cuyo área es $4$; por tanto $8/3$ es plausible. Además, el integrando es par y el cálculo en $[0,1]$ debe duplicarse.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Intercambiar las curvas superior e inferior.
• Partir la región sin necesidad o no partir cuando los límites lo exigen.
• Suponer que tipo II siempre es más sencillo.

Errores comunes transversales

1. Plantear la integral antes de dibujar la región.
2. Confundir área con perímetro.
3. Ignorar las unidades de $dA$.
4. Cambiar el orden sin reescribir los límites.
5. Reportar demasiadas cifras sin una verificación geométrica.