Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno (1–2 oraciones)
  • Definición formal
  • Tabla de formas típicas
  • Idea-fuerza para el alumno
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Función lineal (equipotencial plana)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Función no lineal (paraboloide)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 3: Función con restricción (conducción de calor en placa)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

Teoría matemática

Idea para el alumno (1–2 oraciones)

Una curva de nivel de $f(x,y)$ al valor $c$ es el conjunto de puntos del plano donde la función vale exactamente $c$:

$$L_c := \{(x,y)\in\operatorname{Dom}(f) : f(x,y)=c\}.$$

Si dibujamos la superficie $z=f(x,y)$ y la "cortamos" con un plano horizontal $z=c$, la intersección es una curva. Proyectada sobre el piso $xy$, esa curva es $L_c$. Las curvas de nivel son como las líneas de un mapa topográfico: cada línea une puntos que están a la misma "altura" de la función.

Definición formal

$$L_c(f) := \{(x,y)\in\operatorname{Dom}(f)\;:\;f(x,y)=c\},\qquad c\in\operatorname{Rgo}(f).$$

Tabla de formas típicas

Cada forma algebraica produce una forma geométrica característica en su familia de curvas de nivel.

• Función lineal $ax+by$. Curva de nivel $L_c$: recta $ax+by=c$ — forma geométrica: línea recta (familia de rectas paralelas).
• Suma de cuadrados $x^2+y^2$. Curva de nivel $L_c$: circunferencia $r=\sqrt{c}$ — forma geométrica: círculo concéntrico (centrado en el origen).
• Diferencia de cuadrados $x^2-y^2$. Curva de nivel $L_c$: hipérbola — forma geométrica: dos ramas abiertas.
• Elipse genérica $x^2/a^2+y^2/b^2$. Curva de nivel $L_c$: elipse — forma geométrica: elipse homóloga (semiejes $a,b$).
• Temperatura $f(x,y)=T$. Curva de nivel $L_c$: isoterma — forma geométrica: línea de igual temperatura (lectura tipo mapa térmico).

Idea-fuerza para el alumno

Pensar en las curvas de nivel como "mapa de calor": donde las curvas están juntas, la función cambia rápido (gradiente grande); donde están separadas, la función cambia lento (gradiente pequeño).

Visualización

• Figura 1 — Curvas de nivel del paraboloide. Función $z=x^2+y^2$. Mensaje: "Las curvas de nivel son la sombra de la superficie sobre el piso".
• Figura 2 — Superficie y cortes horizontales. Función $z=x^2+y^2$. Mensaje: "Cortar la superficie a distintas alturas produce curvas distintas".
• Figura 3 — Curvas de nivel y gradiente. Superficie: paraboloide. Mensaje: "El gradiente apunta hacia donde la función crece más rápido".
• Figura 4 — Mapa topográfico. Lectura: análogo geográfico. Mensaje: "Esto es lo mismo que hacen los mapas de relieve".
• Figura 5 — Placa térmica con elipses. Función $T(x,y)=100-4x^2-y^2$. Mensaje: "Elipses dentro del rectángulo".

Ejemplo Forma 1: Función lineal (equipotencial plana)

Problema

Hallar la familia de curvas de nivel de $V(x,y)=3x+4y$.

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Función lineal (sin cuadrados ni productos).
• Herramienta. Despeje algebraico; lectura como familia de rectas paralelas.
• Bifurcación. Paso 3: la pendiente es constante (no depende de $c$). Se opone a las Formas 2 y 3.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Plantear $V(x,y)=c$: $3x+4y=c$.
2. Despejar: $y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{c}{4}$.
3. Reconocer la forma: recta con pendiente $-3/4$ y ordenada al origen $c/4$.
4. Familia: para cada valor de $c$, una recta paralela a las demás.

• Nivel $c=0$. Ecuación: $y=-\tfrac{3}{4}x$ — pasa por el origen (ordenada al origen nula).
• Nivel $c=4$. Ecuación: $y=-\tfrac{3}{4}x+1$ — recta paralela, desplazada hacia arriba.
• Nivel $c=-4$. Ecuación: $y=-\tfrac{3}{4}x-1$ — misma pendiente, otro desplazamiento (hacia abajo).

$$L_c = \{(x,y): 3x+4y=c\},\qquad c\in\mathbb{R}.$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Confundir pendiente: escribir $y = \tfrac{3}{4}x$ en lugar de $y = -\tfrac{3}{4}x$.
• Asumir que las rectas se cortan (no lo hacen: son paralelas).
• Olvidar que $\operatorname{Rgo}(V)=\mathbb{R}$ (puede tomar cualquier valor real).

Ejemplo Forma 2: Función no lineal (paraboloide)

Problema

Hallar la familia de curvas de nivel de $f(x,y)=x^2+y^2$.

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Función con términos cuadráticos puros, simétrica rotacionalmente.
• Herramienta. Reconocer $x^2+y^2$ como radio al cuadrado; lectura como circunferencias concéntricas.
• Bifurcación. Paso 2: el rango no incluye los $c<0$ (aparece por primera vez una restricción sobre $c$).

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Plantear $f(x,y)=c$: $x^2+y^2=c$.
2. Analizar:
   • Si $c<0$: sin soluciones reales. $c$ no pertenece al rango.
   • Si $c=0$: un solo punto $(0,0)$.
   • Si $c>0$: circunferencia de radio $\sqrt{c}$ centrada en el origen.
3. Rango: $[0,+\infty)$.

• Nivel $c=0$. $L_0=\{(0,0)\}$ — solo el origen (circunferencia degenerada en un punto).
• Nivel $c=1$. $L_1: x^2+y^2=1$ — círculo unitario centrado en el origen.
• Nivel $c=4$. $L_4: x^2+y^2=4$ — círculo de radio $2$ (doble del unitario).
• Nivel $c=-1$. $L_{-1}=\varnothing$ — sin solución real (rango exige $c\geq 0$).

$$L_c = \{(x,y): x^2+y^2=c\},\qquad c\geq 0.$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Escribir la curva como $x^2+y^2\leq c$ (desigualdad en lugar de igualdad).
• Aceptar $c<0$ como válido.
• Reportar la circunferencia como un disco (confundir la curva 1D con la región 2D).

Ejemplo Forma 3: Función con restricción (conducción de calor en placa)

Problema

Sea $T(x,y) = 100 - 4x^{2} - y^{2}$ en la región rectangular $R = [-3,3]\times[-2,2]$. Hallar la familia de curvas de nivel.

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Dato. Función con cuadrados de coeficientes distintos + dominio rectangular acotado.
• Herramienta. Completar cuadrados; reconocer elipses con semiejes distintos.
• Bifurcación. Paso 4: aparece una frontera rectangular que recorta la curva de nivel — la elipse "se sale" del dominio si $c$ es muy bajo.

Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

1. Plantear $T(x,y)=c$: $100-4x^2-y^2=c$, equivalente a $4x^2+y^2=100-c$.
2. Reescribir: $\dfrac{x^2}{(100-c)/4} + \dfrac{y^2}{100-c} = 1$.
3. Es una elipse con semiejes $a=\sqrt{(100-c)/4}$ y $b=\sqrt{100-c}$, siempre que $c\leq 100$.
4. La elipse solo existe dentro del rectángulo $|x|\leq 3$, $|y|\leq 2$.

• Nivel $c=100$. Condición: $4x^2+y^2=0$. Semiejes $(0,0)$ (un punto) — cabe en $R$: sí (la elipse degenera en el origen).
• Nivel $c=96$. Condición: $4x^2+y^2=4$. Semiejes $(1,2)$ — cabe en $R$: sí (elipse contenida en el rectángulo).
• Nivel $c=50$. Condición: $4x^2+y^2=50$. Semiejes $(\sqrt{12.5},\sqrt{50})\approx(3.54,7.07)$ — cabe en $R$: recortada (la elipse sobresale por el lado $y$).
• Nivel $c=0$. Condición: $4x^2+y^2=100$. Semiejes $(5,10)$ — cabe en $R$: muy recortada (la elipse casi solo aporta la frontera $y=\pm 2$).

$$L_c = \{(x,y)\in[-3,3]\times[-2,2] : 4x^2+y^2=100-c\},\qquad c\leq 100.$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Tratar la elipse como circunferencia (ignorar los coeficientes distintos).
• Olvidar el recorte rectangular (dibujar elipses completas fuera del dominio).
• Asumir $c>100$ como válido (la elipse degenera en el conjunto vacío).