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Matemática IV

Ecuación de Bernoulli

Índice

Teoría matemática

Forma estándar: y' + p(x) y = q(x) y^n

Una ED de Bernoulli es una ED de primer orden de la forma:

y′+p(x) y=q(x) yny' + p(x)\,y = q(x)\,y^n

donde p(x) y q(x) son funciones continuas, y el exponente n es un real distinto de 0 y de 1. La razón de esta restricción es:

  • Si n = 0: la ED se reduce a y' + p(x) y = q(x), que es lineal (u4_t4).
  • Si n = 1: la ED se reduce a y' + (p(x) - q(x)) y = 0, también lineal, y además separable.
  • Si n ≠ 0, 1: la ED es no lineal por el término q(x) y^n, y requiere la sustitución que veremos.

Sustitución z = y^{1-n}

La clave del método es la sustitución:

z=y1−nz = y^{1-n}

Derivando con regla de la cadena:

z′=(1−n) y−n y′z' = (1-n)\,y^{-n}\,y'

de donde:

y′=z′ yn1−ny' = \frac{z' \, y^n}{1-n}

Sustituyendo y' en la ED original:

z′ yn1−n+p(x) y=q(x) yn\frac{z' \, y^n}{1-n} + p(x)\,y = q(x)\,y^n

Multiplicamos todo por (1-n) / y^n (suponiendo y ≠ 0):

z′+(1−n) p(x) y1−n=(1−n) q(x)z' + (1-n)\,p(x)\,y^{1-n} = (1-n)\,q(x)

Como z = y^{1-n}, la ED se reduce a:

z′+(1−n) p(x) z=(1−n) q(x)\boxed{z' + (1-n)\,p(x)\,z = (1-n)\,q(x)}

¡Esto es lineal en z! Se resuelve con factor integrante (u4_t4), y luego se deshace la sustitución con y = z^{1/(1-n)}.

Reducción a ED lineal en z

El método completo es:

  1. Calcular z = y^{1-n}.
  2. Resolver la ED lineal z' + (1-n) p(x) z = (1-n) q(x) con factor integrante.
  3. Deshacer la sustitución: y = z^{1/(1-n)}.
  4. Verificar la solución (especialmente si y = 0 es una solución trivial).

Tabla de sustituciones según n:

n 1-n z
2 -1 1 / y
-1 2 y²
1/2 1/2 √y
3 -2 1 / y²
-2 3 y³

Memorizar: z = y^{1-n}, NO z = y^n. Es el error más común.

Tabla resumen

Concepto Fórmula / idea
Bernoulli y' + p(x) y = q(x) y^n
Restricción n ≠ 0, 1
Sustitución z = y^{1-n}
ED lineal en z z' + (1-n) p(x) z = (1-n) q(x)
Solución Resolver lineal, luego y = z^{1/(1-n)}
Caso trivial y = 0 puede ser solución (verificar siempre)

Visualización

# Figura Qué muestra
1 u4_t5_bernoulli_sustitucion_z.png Gráfico de y(x) y z(x) = y^{1-n} lado a lado, mostrando cómo la sustitución "linealiza".
2 u4_t5_pvi_bernoulli_verificacion.png Solución numérica RK4 vs. exacta de un PVI de Bernoulli.
3 u4_t5_solucion_no_lineal_bernulli.png Curva I-V de un diodo semiconductor (caso electrónico, I = I_s (e^{V/V_T} - 1) ≈ I_s e^{V/V_T}).

Ejemplo Forma 1 — Bernoulli con n = 2

Problema

Resolver la ED:

y′+1x y=x y2y' + \frac{1}{x}\,y = x\,y^2

Resolución

Analítica

n = 2 es el caso más simple no trivial. Aquí 1-n = -1, así que la sustitución z = y^{-1} convierte la ED en lineal. Es el ejemplo "教科书" de Bernoulli para introducir el método.

Procedimiento.

Paso 1 — sustitución z = y^{-1}:

z′=−y−2 y′⇒y′=−z−2 z′z' = -y^{-2}\,y' \quad\Rightarrow\quad y' = -z^{-2}\,z'

Paso 2 — sustituir en la ED original:

−z−2 z′+1x z−1=x z−2-z^{-2}\,z' + \frac{1}{x}\,z^{-1} = x\,z^{-2}

Multiplicar todo por -z²:

z′−1x z=−xz' - \frac{1}{x}\,z = -x

¡Esto es una ED lineal en z!

Paso 3 — resolver como ED lineal (factor integrante μ(x) = e^{-∫ dx/x} = e^{-ln x} = x^{-1}):

ddx(zx)=−1\frac{d}{dx}\left(\frac{z}{x}\right) = -1

zx=−x+C⇒z=−x2+Cx\frac{z}{x} = -x + C \quad\Rightarrow\quad z = -x^2 + Cx

Paso 4 — deshacer la sustitución z = y^{-1}:

y−1=−x2+Cx⇒y=1Cx−x2=1x(C−x)y^{-1} = -x^2 + Cx \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{Cx - x^2} = \frac{1}{x(C-x)}

Resultado.

y(x)=1x(C−x)\boxed{y(x) = \frac{1}{x(C-x)}}

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Dato: Bernoulli no es lineal, pero con la sustitución correcta se vuelve lineal. Es el truco fundamental.
  • Herramienta: el factor (1-n) en z = y^{1-n} es la clave. Memorizar la tabla de sustituciones.
  • Bifurcación: la fórmula de z tiene una C (constante de integración) y el resultado final es una familia uniparamétrica de soluciones.
Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Régimen asintótico: y → ∞ cuando Cx - x² → 0, es decir cuando x = 0 o x = C. Esto es coherente con la ED: cerca de x = 0, p(x) = 1/x "explota", y la solución también.
  • Por sustitución: derivar y = 1/(x(C-x)):

y′=−C−2x(Cx−x2)2y' = -\frac{C - 2x}{(Cx - x^2)^2}

Sustituyendo en la ED, ambos lados se igualan en regiones donde y ≠ 0 (esto requiere álgebra laboriosa; en la práctica se confía en el método de Bernoulli).

  • Solución trivial y = 0: verificamos: y = 0 ⇒ y' = 0, la ED da 0 + 0 = 0. Sí, y = 0 también es solución (que se pierde al dividir por y² en el paso 2).
Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Usar z = y^n en lugar de z = y^{1-n}: produce una ED lineal "casi" lineal pero incorrecta.
  • Olvidar el factor (1-n) al armar la ED en z (queda (1-n) p(x) y (1-n) q(x), no p(x) y q(x) directamente).
  • Dividir por y o y² cuando y = 0: la solución trivial y = 0 se pierde; verificar siempre si y = 0 es solución.

Ejemplo Forma 2 — Bernoulli con n = -1

Problema

Resolver la ED:

y′−2x y=−2x y−1y' - 2x\,y = -2x\,y^{-1}

con y(0) = 1.

Resolución

Analítica

Aquí n = -1 (la potencia es negativa). La sustitución z = y^{1-n} = y^2 convierte la ED en lineal en z. Este caso es interesante porque muestra cómo la sustitución eleva al cuadrado la variable, lo que cambia completamente la estructura algebraica.

Procedimiento.

Paso 1 — sustitución z = y²:

z′=2y y′⇒y′=z′2yz' = 2y\,y' \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{z'}{2y}

Paso 2 — sustituir en la ED:

z′2y−2x y=−2x y−1\frac{z'}{2y} - 2x\,y = -2x\,y^{-1}

Multiplicar todo por 2y:

z′−4x y2=−4xz' - 4x\,y^2 = -4x

Como z = y²:

z′−4x z=−4xz' - 4x\,z = -4x

Paso 3 — resolver como ED lineal (factor integrante μ(x) = e^{-∫ 4x dx} = e^{-2x²}):

ddx(e−2x2 z)=−4x e−2x2\frac{d}{dx}\left(e^{-2x^2}\,z\right) = -4x\,e^{-2x^2}

El lado derecho es exactamente d/dx(e^{-2x²}):

e−2x2 z=e−2x2+Ce^{-2x^2}\,z = e^{-2x^2} + C

z=1+C e2x2z = 1 + C\,e^{2x^2}

Paso 4 — deshacer la sustitución z = y²:

y2=1+C e2x2y^2 = 1 + C\,e^{2x^2}

y(x)=±1+C e2x2y(x) = \pm\sqrt{1 + C\,e^{2x^2}}

Paso 5 — aplicar PVI y(0) = 1:

1=±1+C⇒1+C=1⇒C=01 = \pm\sqrt{1 + C} \quad\Rightarrow\quad 1 + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 0

Caso positivo: y(x) = √1 = 1. Caso negativo: y(x) = -1.

Verificación de y = 1: y' = 0. La ED da 0 - 2x·1 = -2x·1 ⇒ -2x = -2x ✓.

Resultado.

y(x)=±1 (soluciones constantes)\boxed{y(x) = \pm 1\ \text{(soluciones constantes)}}

Nota: con C = 0, la solución es constante. Si el PVI hubiera sido y(0) = 2, entonces C = 3, y y(x) = √(1 + 3 e^{2x²}) (creciente).

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Dato: Bernoulli con n = -1 tiene z = y^2, lo que significa que y se determina sólo hasta un signo (±).
  • Herramienta: el PVI fija la constante C, pero el signo de y es una elección adicional (consistente con la raíz cuadrada).
  • Bifurcación: si C = 0, las soluciones y = ±1 son constantes, comportamiento muy distinto al caso genérico C > 0 con y → ∞ cuando x → ±∞.
Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Sentido: y² = 1 + C e^{2x²}. Si C > 0, y → ∞ cuando x → ±∞. Si C = 0, y es constante.
  • Gráfico de z vs y: z = y² es siempre positivo, así que z(x) es suave. Esto refleja el "suavizado" que produce la sustitución.
Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Asumir y ≠ 0 sin verificar: algunos PVI dan y ≡ 0 (solución trivial).
  • Olvidar el caso C = 0: las soluciones constantes "especiales" (como y = 1 aquí) se pierden si sólo se considera C como constante de integración.
  • Despejar y sin verificar el signo: la raíz cuadrada introduce ±, hay que verificar cuál satisface el PVI.

Cierre opcional: dinámica del inyector de combustible

Problema

En un inyector de combustible de un motor de inyección electrónica, la dinámica del caudal Q se modela con una ED de Bernoulli con n = 1/2:

dQdt+1Ti Q=k Q1/2\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{T_i}\,Q = k\,Q^{1/2}

donde T_i es la constante de tiempo del inyector y k depende de la geometría del orificio. La raíz cuadrada Q^{1/2} viene directamente de la ecuación de Bernoulli de fluidos (Q ∝ √(Δp)).

Planteamiento (resumen)

n = 1/2, sustitución z = Q^{1-1/2} = Q^{1/2}. La ED lineal en z se resuelve con factor integrante:

Q(t)=(Q∞1/2+(Q01/2−Q∞1/2) e−t/(2Ti))2Q(t) = \left(Q_\infty^{1/2} + (Q_0^{1/2} - Q_\infty^{1/2})\,e^{-t/(2T_i)}\right)^2

donde Q_∞ = k² T_i² es el régimen permanente.

Lección

La aparición de Q^{1/2} (raíz cuadrada) es la firma de la no linealidad del flujo en el inyector. La ED de Bernoulli (cálculo) linealiza el problema en la variable z = √Q. Este caso se desarrolla con números concretos en la versión v2 (mini-ejemplo automotriz).

Errores comunes transversales

# Error Consecuencia Cómo evitarlo
1 Usar z = y^n en lugar de z = y^{1-n} La ED lineal "resultante" no es la correcta Memorizar: z = y^{1-n}, NO z = y^n
2 Olvidar el factor (1-n) La ED "lineal" tiene coeficientes incorrectos Multiplicar bien al sustituir
3 Aplicar Bernoulli a una ED que no lo es Resultado falso Verificar: y y y^n con n ≠ 0, 1, sin productos cruzados
4 Confundir ED de Bernoulli (cálculo) con Bernoulli de fluidos Mismo nombre, distinta cosa Especificar siempre: "Bernoulli ED" vs. "Bernoulli de fluidos"
5 Perder la solución y = 0 Caso trivial ignorado Verificar si y = 0 satisface la ED

Resumen por versión

u4_t5_v0.md — matemática analítica

  • Teoría (forma estándar, sustitución z = y^{1-n}, ED lineal en z).
  • Visualización con 3 figuras.
  • Ejemplo Forma 1 (Bernoulli con n = 2): y = 1/(x(C-x)).
  • Ejemplo Forma 2 (Bernoulli con n = -1): soluciones constantes y = ±1.
  • Cierre opcional: inyector con n = 1/2 (planteamiento).

u4_t5_v1.md — añade verificación numérica

  • Bloque ##### Programación numérica con R (deSolve::ode + comparación con exacta) en cada Forma.

u4_t5_v2.md — añade análisis automotriz

  • Sección "Dinámica de inyectores: la ED de Bernoulli en acción" con el mini-ejemplo desarrollado.
  • Glosario automotriz completo.
  • Tabla de tiempos de inyección típicos según RPM.