Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Forma diferencial M dx + N dy = 0
  • Condición de exactitud: M_y = N_x
  • Cómo encontrar la función potencial F
  • Factores integrantes
  • Tabla resumen
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: ED exacta "limpia" (2xy+3) dx + (x^2+4y) dy = 0
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: ED no exacta con factor algebraico (y+x)(y dx + x dy) = 0
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Cierre opcional: circuito con fuente dependiente (Forma 3)
  • Problema
  • Planteamiento (resumen)
  • Lección
• Errores comunes transversales
• Resumen por versión
  • u4_t3_v0.md — matemática analítica
  • u4_t3_v1.md — añade verificación numérica
  • u4_t3_v2.md — añade análisis automotriz

Teoría matemática

Forma diferencial M dx + N dy = 0

Toda EDO de primer orden que pueda escribirse de la forma

$$M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$$

con M y N funciones conocidas, se denomina forma diferencial. La solución, cuando existe, es una familia de curvas y(x) (o una relación implícita F(x,y) = C) tangentes al campo vectorial (M, N) en cada punto. El problema de la ecuación diferencial exacta es: ¿de qué forma especial deben ser M y N para que la ED provenga del diferencial de una función escalar F?

Condición de exactitud: M_y = N_x

La ED es exacta si y sólo si existe una función F(x,y) tal que

$$\frac{\partial F}{\partial x} \;=\; M, \qquad \frac{\partial F}{\partial y} \;=\; N,$$

en cuyo caso la solución es la familia de curvas de nivel

$$F(x,y) \;=\; C.$$

Teorema (condición necesaria y suficiente). Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región simplemente conexa, la ED es exacta si y sólo si

$$\boxed{\dfrac{\partial M}{\partial y} \;=\; \dfrac{\partial N}{\partial x}}$$

Esta condición se deduce del teorema de Clairaut sobre la igualdad de las derivadas cruzadas: en una región simplemente conexa, F_{xy} = F_{yx} siempre que ambas derivadas continuas existan. La hipótesis de simplemente conexa es esencial: sin ella, pueden aparecer "agujeros" topológicos donde la condición se cumple pero la ED no es exacta (los campos con rotor nulo no siempre son conservativos).

Cómo encontrar la función potencial F

Cuando la ED es exacta, se reconstruye F con un procedimiento algorítmico de tres pasos:

Paso 1 — integrar M respecto a x, dejando una función indeterminada g(y):

$$F(x,y) \;=\; \int M(x,y)\,dx + g(y).$$

Paso 2 — derivar F respecto a y e igualar a N:

$$\frac{\partial F}{\partial y} \;=\; N \;\;\Longrightarrow\;\; g'(y) \;=\; N - \frac{\partial}{\partial y}\int M\,dx.$$

Paso 3 — integrar g'(y) para obtener g(y), y reescribir la solución como F(x,y) = C.

(En la práctica, se puede empezar igualmente por ∫ N dy + h(x); el procedimiento es simétrico.)

Factores integrantes

Si la ED no es exacta, pero M y N satisfacen una condición de regularidad suficiente, es posible multiplicar toda la ED por una función μ(x) o μ(y) (llamada factor integrante) para volverla exacta. Las fórmulas clásicas son:

$$\mu(x) \;=\; \exp\!\left(\int \frac{M_y - N_x}{N}\,dx\right) \quad \text{si el cociente depende sólo de } x$$ $$\mu(y) \;=\; \exp\!\left(\int \frac{N_x - M_y}{M}\,dy\right) \quad \text{si el cociente depende sólo de } y.$$

No toda ED no exacta admite factor integrante elemental. Cuando las fórmulas fallan, hay que probar otra técnica (separar variables, factorizar algebraicamente, ED lineal, Bernoulli, …). Antes de buscar el factor integrante, conviene factorizar algebraicamente M y N para extraer un factor común que simplifique la ED.

Tabla resumen

Concepto	Fórmula / condición
Forma diferencial	M dx + N dy = 0
ED exacta	M_y = N_x en región simplemente conexa
Solución	F(x,y) = C donde F_x = M y F_y = N
Reconstruir F	∫ M dx + g(y); igualar F_y = N para hallar g(y)
Factor integrante en x	μ(x) = exp(∫ (M_y − N_x)/N dx)
Factor integrante en y	μ(y) = exp(∫ (N_x − M_y)/M dy)
Antes de buscar μ	Factorizar algebraicamente M y N

Visualización

#	Figura	Qué muestra
1		Curvas de nivel F(x,y) = C para distintos C, mostrando la familia solución de la ED exacta de la Forma 1.
2		Campo vectorial (M, N) antes del factor integrante: las curvas integrales no cierran. Campo vectorial (μ·M, μ·N) después: ahora son curvas de nivel de un único potencial F.
3		Idéntico a la Figura 2, pero con un factor integrante que depende exclusivamente de y.

Figura 1. Cada curva F(x,y) = C es una solución de la ED exacta. La condición M_y = N_x garantiza que el campo (M, N) es conservativo y, por tanto, integrable a un potencial escalar.

Figura 2. A la izquierda, el campo original (M, N) no conserva su "energía" entre curvas (no existe un potencial global). Tras multiplicar por μ(x), el campo (μ·M, μ·N) es conservativo: sus líneas de flujo son curvas de nivel de un único F.

Figura 3. Versión análoga a la Figura 2 con un factor integrante que depende sólo de y. La elección entre μ(x) o μ(y) la decide la dependencia del cociente (M_y − N_x)/N o (N_x − M_y)/M.

Ejemplo Forma 1: ED exacta "limpia" (2xy+3) dx + (x^2+4y) dy = 0

Problema

Resolver la ecuación diferencial

$$(2xy + 3)\,dx + (x^2 + 4y)\,dy \;=\; 0.$$

Resolución

Analítica

La verificación de la exactitud es inmediata con este M y N: ambas son polinomios y sus derivadas cruzadas coinciden. Esto hace de la Forma 1 el caso "didáctico" donde basta integrar — no hay factor integrante ni manipulación algebraica previa.

Paso 1 — verificar la exactitud.

$$M_y \;=\; \frac{\partial}{\partial y}(2xy + 3) \;=\; 2x,\qquad N_x \;=\; \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 4y) \;=\; 2x \;\;\checkmark$$

La ED es exacta.

Paso 2 — integrar M respecto a x. $$

F(x,y) ;=; \int (2xy + 3),dx ;=; x^2 y + 3x + g(y). $$

Paso 3 — derivar F respecto a y e igualar a N.

$$\frac{\partial F}{\partial y} \;=\; x^2 + g'(y) \;=\; N \;=\; x^2 + 4y$$ $$\Longrightarrow \quad g'(y) \;=\; 4y \;\;\Longrightarrow\;\; g(y) \;=\; 2y^2 + C_0.$$

Paso 4 — escribir la solución implícita.

$$F(x,y) \;=\; x^2 y + 3x + 2y^2 \;=\; C.$$

La constante C_0 se reabsorbe en C; la solución es una familia de curvas de nivel del potencial escalar F(x,y) = x^2 y + 3x + 2y^2.

Resultado.

$$\boxed{x^2 y + 3x + 2y^2 \;=\; C}$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. La familia de curvas solución no es una función y = f(x) despejada, sino una relación implícita F(x,y) = C. En este ejemplo, despejar y requiere resolver una ecuación cuadrática, lo cual puede no ser práctico ni único.
• Herramienta. La condición de exactitud M_y = N_x es el criterio que evita búsquedas ciegas: integra M en x, ajusta con g(y), y obtén la solución sin necesidad de un factor integrante.
• Bifurcación. Si en otro problema M_y ≠ N_x, la ED no es exacta y el algoritmo de esta Forma falla. La bifurcación es: ¿hay factor algebraico común? (Forma 2) ¿Hay factor integrante μ(x) o μ(y)? (Teoría §4) ¿O hay que cambiar de método de resolución?

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Diferencial de F. dF = (2xy + 3) dx + (x^2 + 4y) dy ✓ — coincide término a término con la ED original.
• Curvas de nivel. Las soluciones son curvas de nivel del campo escalar F; cualquier trayectoria (x(t), y(t)) que satisface la ED permanece sobre una misma curva de nivel.
• Verificación puntual. En (x, y) = (1, 1): F = 1 + 3 + 2 = 6. Derivada implícita: dF = 0 ⟹ (2xy + 3) x' + (x^2 + 4y) y' = 0 ⟹ y' = -(2xy + 3)/(x^2 + 4y) = -5/5 = -1. La pendiente es -1, coherente con una trayectoria que atraviesa el nivel F = 6 perpendicular al gradiente ∇F = (2xy + 3, x^2 + 4y) = (5, 5).

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Olvidar la +g(y) al integrar M. Sin esa función indeterminada, no se puede ajustar la igualdad F_y = N y se obtiene una "solución" que no satisface la ED.
• No verificar la exactitud antes de empezar. Si la ED no es exacta, integrar M produce un resultado que parece coherente pero no cumple la ED. Verificar M_y = N_x primero cuesta diez segundos y evita tres minutos de búsqueda.
• Intentar despejar y explícitamente. Para x^2 y + 3x + 2y^2 = C, despejar y da y = (-x^2 ± √(x^4 + 16C - 24x))/4 — algebraicamente correcto pero poco útil. La forma implícita F(x,y) = C ya es la solución.

Ejemplo Forma 2: ED no exacta con factor algebraico (y+x)(y dx + x dy) = 0

Problema

Resolver la ecuación diferencial

$$(y^2 + xy)\,dx + (xy + x^2)\,dy \;=\; 0.$$

Resolución

Analítica

A primera vista, la ED de la Forma 2 parece más rebelde que la de la Forma 1: las derivadas cruzadas no coinciden, por lo que la ED no es exacta. La bifurcación pedagógica de esta Forma es clave: antes de buscar un factor integrante "complicado" como μ(x) = exp(∫((M_y − N_x)/N) dx), conviene factorizar algebraicamente M y N. Aquí la factorización es evidente.

Paso 1 — identificar M y N y comprobar la no-exactitud.

$$M \;=\; y^2 + xy \;=\; y(y + x), \qquad N \;=\; xy + x^2 \;=\; x(y + x).$$ $$M_y \;=\; 2y + x, \qquad N_x \;=\; y + 2x.$$

Para que fuesen iguales necesitaríamos y = x, lo cual no es cierto en general. La ED no es exacta.

Paso 2 — factorizar la ED.

$$y(y + x)\,dx + x(y + x)\,dy \;=\; (y + x)\bigl(y\,dx + x\,dy\bigr) \;=\; 0.$$

El factor (y + x) es común a ambos sumandos. Si y + x ≠ 0 (caso genérico), la ED es equivalente a:

$$y\,dx + x\,dy \;=\; 0.$$

Paso 3 — reconocer el diferencial exacto.

$$y\,dx + x\,dy \;=\; d(xy)$$

porque la diferencial de xy es d(xy) = y dx + x dy. Por tanto, la ED es exacta y su solución es

$$xy \;=\; C.$$

Paso 4 — verificar la solución.

• Sustituyendo y = C/x en la ED original: (y² + xy) dx + (xy + x²) dy = (C²/x² + C) dx + (C + x²) (-C/x²) dx = 0 ✓.

Resultado.

$$\boxed{xy \;=\; C}$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. La ED parece requerir un factor integrante "matemáticamente elegante" porque M_y ≠ N_x. Pero M y N tienen un factor algebraico común (y + x) que permite simplificar sin recurrir a la fórmula de μ.
• Herramienta. La técnica de factorización algebraica de la ED, complementada con el reconocimiento de la diferencial d(xy) = y dx + x dy. Esta Forma enseña la lección "dividir antes de integrar".
• Bifurcación. La bifurcación respecto a la Forma 1 es metodológica: si la ED no es exacta, primero factorizar; si la ED factorizada tampoco es exacta, entonces buscar un factor integrante μ(x) o μ(y) mediante la fórmula estándar.

Si la ED es exacta	Integrar M en x, ajustar con g(y)
Si no es exacta pero tiene factor algebraico común	Factorizar primero y resolver el factor restante
Si no es exacta ni factorizable	Buscar factor integrante μ(x) o μ(y)

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Diferencial de xy. d(xy) = x dy + y dx coincide con la ED factorizada ✓.
• Sustitución numérica. Con C = 2, y = 2/x. En (x, y) = (2, 1): M = 1 + 2 = 3, N = 2 + 4 = 6. La ED vale: 3 dx + 6 dy = 0 ⟹ dy/dx = -1/2. Por otra parte, y = 2/x ⟹ dy/dx = -2/x² = -1/2 en x = 2 ✓.
• Caso degenerado. y + x = 0 ⟹ y = -x: la ED original vale 0 dx + 0 dy = 0, trivialmente satisfecha. La recta y = -x es una solución singular (no aparece en la familia xy = C salvo como C → −∞).

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Buscar factor integrante sin antes factorizar M y N. Cuando aplica la factorización, hacerlo ahorra una integral no trivial.
• Aplicar la fórmula del factor integrante sin verificar que el cociente (M_y − N_x)/N depende sólo de x. Aquí (M_y − N_x)/N = (y − x)/(x(y + x)) depende de x/y, no de x — la fórmula no se puede aplicar directamente.
• Olvidar que si se multiplica la ED por μ, hay que multiplicar ambos sumandos (μ M dx + μ N dy = 0), no uno solo.
• Pasar por alto la solución singular y = −x. Aunque no pertenezca a la familia xy = C, es una solución válida y puede tener significado físico (en el contexto automotriz, un régimen de operación especial).

Cierre opcional: circuito con fuente dependiente (Forma 3)

Problema

En un circuito RL con una fuente de corriente controlada por voltaje i_s = k · v_R, plantear la ED que describe la corriente i(t).

Planteamiento (resumen)

Aplicando KVL al lazo: v_R + v_L = v_s, donde v_s = k · v_R. Con v_R = R i y v_L = L di/dt:

$$R\,i + L\,\frac{di}{dt} \;=\; k\,R\,i$$ $$L\,\frac{di}{dt} \;=\; (kR - R)\,i \;=\; R(k - 1)\,i$$ $$\frac{di}{dt} \;=\; \frac{R(k - 1)}{L}\,i.$$

Lección

Esta ED es lineal (no exacta en el sentido de M dx + N dy), pero se puede escribir como exacta en variables (t, i):

$$di - \frac{R(k - 1)}{L}\,i\,dt \;=\; 0.$$

Aquí M = −(R(k − 1)/L) i, N = 1. M_i = −R(k − 1)/L, N_t = 0. No es exacta salvo en el caso degenerado k = 1 (corriente constante). El factor integrante no aplica trivialmente — esta ED se resuelve como lineal (Tema 4.4).

El cierre muestra que no toda ED de circuitos cae en la categoría exacta. Reconocer cuándo sí y cuándo no requiere práctica y, sobre todo, prueba previa de la condición M_y = N_x.

Errores comunes transversales

#	Error	Consecuencia	Cómo evitarlo
1	No verificar la exactitud antes de integrar	Integrar M en x, ajustar con g, y obtener algo que no cumple la ED	Calcular M_y y N_x primero; cuestionar si la región es simplemente conexa
2	Olvidar la +g(y) al integrar M	Solución incompleta que no satisface la ED	g(y) es la "constante de integración" que depende de y — no se puede omitir
3	Aplicar la fórmula de μ(x) cuando el cociente no es función sólo de x	μ mal calculado; la ED sigue sin ser exacta	Verificar la dependencia de (M_y − N_x)/N antes de aplicar la fórmula
4	Confundir factor integrante con "factor común algebraico"	Errores algebraicos	El factor integrante multiplica la ED completa; el factor común algebraico se cancela y reduce la ED
5	No intentar factorizar antes de buscar μ	Trabajo algebraico innecesario	Si M y N comparten factor algebraico, simplificar primero
6	Intentar despejar y explícitamente de la solución implícita	Expresión algebraica compleja o imposible	La forma F(x,y) = C ya es la solución; sólo se despeja si hace falta una representación paramétrica

Resumen por versión

u4_t3_v0.md — matemática analítica

• Teoría completa (forma diferencial, condición de exactitud, reconstrucción de F, factores integrantes).
• Visualización con tres figuras: curvas solución, factor integrante en x, factor integrante en y.
• Forma 1 — ED exacta "limpia" (2xy + 3) dx + (x² + 4y) dy = 0 → x²y + 3x + 2y² = C.
• Forma 2 — ED no exacta con factor algebraico (y + x)(y dx + x dy) = 0 → xy = C.
• Cierre opcional — circuito con fuente dependiente (síntesis).
• Errores comunes y resumen por versión.

u4_t3_v1.md — añade verificación numérica

• En cada Forma: bloque ##### Programación numérica con R (deSolve::ode + verificación de F constante sobre la trayectoria numérica).

u4_t3_v2.md — añade análisis automotriz

• Sección "Hidráulica de la transmisión automática" con el mini-ejemplo de presión de línea desarrollado.
• Glosario automotriz completo.
• Análisis crítico de los resultados numéricos en el contexto de control de transmisión.