Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno
  • Definición como límite
  • Fórmula con el gradiente
  • Dirección de máximo crecimiento
  • Vector unitario
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Derivada direccional en una dirección dada
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Dirección de máximo crecimiento
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Errores comunes transversales

Teoría matemática

Idea para el alumno

La derivada direccional $D_{\mathbf{u}} f(a, b)$ mide cuánto crece $f$ en el punto $(a, b)$ cuando nos movemos en la dirección del vector unitario $\mathbf{u}$. Es la generalización natural de la derivada parcial: la parcial es la derivada direccional en la dirección del eje $x$ (o $y$).

Definición como límite

Para $f$ definida en un abierto que contiene a $(a, b)$ y $\mathbf{u}$ unitario,

$$D_{\mathbf{u}} f(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f\bigl((a, b) + h\,\mathbf{u}\bigr) - f(a, b)}{h}.$$

Cómo se lee: avanzamos un paso $h$ en la dirección $\mathbf{u}$ y medimos el cociente incremental; el límite es la "tasa de cambio por unidad de avance" en esa dirección.

Fórmula con el gradiente

Si $f$ es diferenciable en $(a, b)$ y $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$ es unitario,

$$D_{\mathbf{u}} f(a, b) = \nabla f(a, b) \cdot \mathbf{u} = f_x(a, b)\,u_1 + f_y(a, b)\,u_2.$$

Es decir, la derivada direccional es el producto punto del gradiente con el vector unitario. Como caso particular, $D_{\mathbf{i}} f = f_x$ y $D_{\mathbf{j}} f = f_y$.

Dirección de máximo crecimiento

El producto punto es máximo cuando $\mathbf{u}$ apunta en la dirección de $\nabla f$. Si $\nabla f(a, b) \neq 0$,

$$\max_{\|\mathbf{u}\| = 1} D_{\mathbf{u}} f(a, b) = \|\nabla f(a, b)\|, \qquad \mathbf{u}_{\max} = \frac{\nabla f(a, b)}{\|\nabla f(a, b)\|}.$$

Si $\nabla f(a, b) = \mathbf{0}$, el punto es crítico y la derivada direccional es cero en todas las direcciones.

Vector unitario

Dado un vector cualquiera $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$, su vector unitario asociado es

$$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}, \qquad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}.$$

Sin normalizar, el cociente $f((a, b) + h\mathbf{v}) - f(a, b))/h$ no mide "por unidad de avance" sino "por $h$ veces la magnitud de $\mathbf{v}$".

Idea-fuerza

La derivada direccional es la proyección del gradiente sobre la dirección de avance. La dirección de máximo crecimiento es siempre la del gradiente (mientras no se anule).

Visualización

#	Figura	Mensaje
1		"Varias direcciones con sus derivadas"
2		"El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel"
3		"Vista superior con curvas de nivel y gradiente"

Ejemplo Forma 1: Derivada direccional en una dirección dada

Problema

$$f(x, y) = 3x^2 + 2xy + y^2,\qquad (a, b) = (1, 2),\qquad \mathbf{v} = (3, 4).$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Función diferenciable $f$, punto $(a, b)$, dirección $\mathbf{v}$.
• Herramienta. Calcular $\nabla f(a, b)$, normalizar $\mathbf{v}$ a unitario $\mathbf{u}$, hacer producto punto.
• Bifurcación. Paso 2: el vector $\mathbf{v}$ dado no es unitario; primero hay que dividir por su magnitud.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Gradiente:

$$\nabla f = (6x + 2y,\ 2x + 2y).$$

2. Evaluación en $(1, 2)$:

$$\nabla f(1, 2) = (10, 6).$$

3. Vector unitario: $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{9 + 16} = 5$, así

$$\mathbf{u} = \frac{(3, 4)}{5} = (3/5,\, 4/5).$$

4. Derivada direccional (producto punto):

$$D_{\mathbf{u}} f(1, 2) = (10, 6) \cdot (3/5,\, 4/5) = 6 + 24/5 = 10{,}8.$$

5. Comprobación de orden de magnitud: $\|\nabla f(1, 2)\| = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \approx 11{,}66$. La derivada direccional calculada ($10{,}8$) es menor porque la dirección $\mathbf{u}$ no es la del gradiente.

Cantidad	Valor
$\nabla f(1, 2)$	$(10, 6)$
$\mathbf{u}$	$(0{,}6,\, 0{,}8)$
$D_{\mathbf{u}} f(1, 2)$	$10{,}8$
$|\nabla f(1, 2)|$ (máximo posible)	$\approx 11{,}66$

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Olvidar normalizar $\mathbf{v}$ (usar el vector sin dividir por su magnitud).
• Confundir derivada direccional con derivada parcial (la direccional es un caso general; $D_{\mathbf{i}} f = f_x$).
• Olvidar el signo (la derivada direccional puede ser negativa si la dirección es opuesta al crecimiento).

Ejemplo Forma 2: Dirección de máximo crecimiento

Problema

$$f(x, y) = x^2 + 4y^2 - 2x + 8y.$$

Estudiar la dirección de máximo crecimiento desde el punto $(1, -1)$ y desde $(2, 0)$.

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Punto donde se quiere la dirección de máximo crecimiento.
• Herramienta. Si $\nabla f \neq 0$, la dirección es $\nabla f / \|\nabla f\|$ y el valor es $\|\nabla f\|$. Si $\nabla f = 0$, el punto es crítico y no hay dirección preferida.
• Bifurcación. Paso 1: hay que distinguir si el punto es regular ($\nabla f \neq 0$) o crítico ($\nabla f = 0$).

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Gradiente:

$$\nabla f = (2x - 2,\ 8y + 8).$$

2. Evaluación en $(1, -1)$:

$$\nabla f(1, -1) = (0, 0).$$

El gradiente se anula: el punto $(1, -1)$ es un punto crítico y la derivada direccional es cero en todas las direcciones. De hecho, $f(1, -1) = 1 + 4 - 2 - 8 = -5$ es el mínimo global del paraboloide (Hessiano positivo).

3. Evaluación en $(2, 0)$:

$$\nabla f(2, 0) = (2, 8),\qquad \|\nabla f(2, 0)\| = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8{,}25.$$

4. Dirección de máximo crecimiento desde $(2, 0)$:

$$\mathbf{u}_{\max} = \frac{(2, 8)}{\sqrt{68}} = \frac{(1, 4)}{\sqrt{17}}.$$

5. Derivada direccional máxima: $D_{\mathbf{u}_{\max}} f(2, 0) = \sqrt{68} \approx 8{,}25$.

Punto	$\nabla f$	$|\nabla f|$	$\mathbf{u}_{\max}$	$D_{\mathbf{u}_{\max}} f$
$(1, -1)$	$(0, 0)$	$0$	no definida	$0$ en toda dirección
$(2, 0)$	$(2, 8)$	$\sqrt{68} \approx 8{,}25$	$(1, 4)/\sqrt{17}$	$\sqrt{68}$

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Asumir que siempre hay dirección de máximo crecimiento (no aplica en puntos críticos).
• Confundir la dirección del gradiente con su magnitud (son dos cosas distintas: dirección vs. tasa de cambio).
• Olvidar que la derivada direccional es el producto punto, no el producto de las normas.

Errores comunes transversales

1. Olvidar normalizar la dirección: sin normalizar, el cociente no mide "por unidad de avance".
2. Aplicar la fórmula en un punto crítico: el gradiente es cero; no hay dirección de máximo crecimiento.
3. Confundir derivada direccional con derivada parcial: $D_{\mathbf{i}} f = f_x$, pero no toda derivada direccional es parcial.
4. Multiplicar normas en lugar de hacer producto punto: la derivada direccional es $\nabla f \cdot \mathbf{u}$, no $\|\nabla f\| \cdot \|\mathbf{u}\|$.