Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Forma estándar de Euler-Cauchy
  • Ecuación indicial
  • Tres casos para las raíces
  • Dominio de las soluciones
  • Tabla resumen
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: raíces reales distintas
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: raíces complejas
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 3
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
• Contexto de ingeniería: bobina de ignición
• Errores comunes transversales
• Resumen por versión
  • u5_t3_v0.md — matemática analítica
  • u5_t3_v1.md — añade verificación numérica
  • u5_t3_v2.md — añade análisis automotriz

Teoría matemática

Forma estándar de Euler-Cauchy

Una ecuación diferencial lineal homogénea de Euler-Cauchy de segundo orden tiene la forma

$$x^2y''+axy'+by=0,$$

donde $a$ y $b$ son constantes y el coeficiente de cada derivada posee la misma potencia que su orden. Esta estructura equidimensional y su reducción mediante $t=\ln x$ coinciden con la exposición de la ecuación de Cauchy-Euler y sus métodos de solución.

A diferencia de una ecuación con coeficientes constantes, aquí no se ensaya $y=e^{rx}$. La escala apropiada es multiplicativa y conduce al ensayo potencial $y=x^r$.

Ecuación indicial

Para $y=x^r$ se tiene

$$\begin{aligned} y'&=rx^{r-1},\\[0.45em] y''&=r(r-1)x^{r-2}. \end{aligned}$$

Al sustituir en la ecuación diferencial,

$$\begin{aligned} x^2r(r-1)x^{r-2}+axrx^{r-1}+bx^r&=0,\\[0.45em] x^r\left[r(r-1)+ar+b\right]&=0. \end{aligned}$$

En un intervalo que no contiene a $x=0$, el factor potencial no determina las raíces. Por tanto, la ecuación indicial es

$$r^2+(a-1)r+b=0.$$

Tres casos para las raíces

La forma de la solución depende de las raíces de la ecuación indicial.

Tipo de raíces	Solución homogénea en $x>0$
$r_1\ne r_2$ reales	$y=C_1x^{r_1}+C_2x^{r_2}$
$r_1=r_2=r$	$y=C_1x^r+C_2x^r\ln x$
$r=\alpha\pm\beta i$	$y=x^\alpha[C_1\cos(\beta\ln x)+C_2\sin(\beta\ln x)]$

En el caso complejo, la oscilación es periódica respecto de $\ln x$, no respecto de $x$. Si $x$ se multiplica por $e^{2\pi/\beta}$, el argumento trigonométrico aumenta en un período completo.

Dominio de las soluciones

El punto $x=0$ es singular porque allí desaparece el coeficiente de $y''$. El método se aplica por separado en intervalos contenidos en $x>0$ o en $x<0$.

En el semieje positivo se usa $\ln x$. En el semieje negativo pueden escribirse las soluciones con $|x|$ cuando corresponda. Una condición inicial nunca debe imponerse atravesando $x=0$ como si fuera un punto ordinario.

Tabla resumen

Paso	Acción	Control
1	Reconocer los factores $x^2$, $x$ y $1$	Confirmar que la ecuación es equidimensional
2	Proponer $y=x^r$	Derivar sin perder el factor $r(r-1)$
3	Resolver $r^2+(a-1)r+b=0$	Clasificar raíces reales, dobles o complejas
4	Construir la familia correspondiente	Incluir $\ln x$ donde sea necesario
5	Aplicar datos iniciales en un semieje	No cruzar el punto singular $x=0$
6	Sustituir en la ecuación original	Verificar cada solución fundamental

Visualización

Figura 1. Curvas $y=x^r$ que muestran crecimiento o decaimiento según el exponente indicial.

Figura 2. Las raíces complejas producen oscilaciones uniformes en escala logarítmica.

Figura 3. Contraste de la trayectoria exacta con una integración numérica iniciada en $x=1$.

Ejemplo Forma 1: raíces reales distintas

Problema

Resolver el problema de valor inicial

$$\begin{aligned} x^2y''-2xy'+2y&=0,\qquad x>0,\\[0.45em] y(1)&=1,\\[0.45em] y'(1)&=0. \end{aligned}$$

Resolución

Analítica

Paso 1 — reconocer los coeficientes. Al comparar con $x^2y''+axy'+by=0$, se obtiene $a=-2$ y $b=2$.

Paso 2 — formar la ecuación indicial.

$$\begin{aligned} r^2+(a-1)r+b&=0,\\[0.45em] r^2-3r+2&=0,\\[0.45em] (r-1)(r-2)&=0. \end{aligned}$$

Las raíces son $r_1=1$ y $r_2=2$.

Paso 3 — construir la solución general.

$$y(x)=C_1x+C_2x^2.$$

Paso 4 — aplicar las condiciones iniciales. Como $y'(x)=C_1+2C_2x$,

$$\begin{aligned} y(1)=C_1+C_2&=1,\\[0.45em] y'(1)=C_1+2C_2&=0. \end{aligned}$$

Al restar las ecuaciones resulta $C_2=-1$ y luego $C_1=2$.

Explicación. Las dos potencias independientes forman la base de soluciones; el PVI selecciona una combinación específica.

Resultado.

$$\boxed{y(x)=2x-x^2},\qquad x>0.$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. La indicial entrega dos raíces reales distintas y el PVI está fijado en el punto ordinario relativo $x=1$.
• Herramienta. Se usa el ensayo $y=x^r$ y un sistema lineal de dos ecuaciones para $C_1,C_2$.
• Bifurcación. En el paso 3 se construyen dos potencias puras, sin factores logarítmicos ni trigonométricos.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

Para $y=2x-x^2$, se tiene $y'=2-2x$ y $y''=-2$. Entonces

$$\begin{aligned} x^2y''-2xy'+2y &=-2x^2-2x(2-2x)+2(2x-x^2)\\[0.45em] &=0. \end{aligned}$$

Además, $y(1)=1$ y $y'(1)=0$, por lo que se satisfacen tanto la ecuación como el PVI.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Ensayar $e^{rx}$ por analogía automática con coeficientes constantes.
• escribir $r^2+ar+b=0$ y olvidar que $r(r-1)$ aporta el término $-r$.
• Resolver correctamente la familia, pero omitir las condiciones iniciales.

Ejemplo Forma 2: raíces complejas

Problema

Resolver el problema de valor inicial

$$\begin{aligned} x^2y''+xy'+y&=0,\qquad x>0,\\[0.45em] y(1)&=1,\\[0.45em] y'(1)&=0. \end{aligned}$$

Resolución

Analítica

Paso 1 — formar la ecuación indicial. Aquí $a=1$ y $b=1$, de modo que

$$\begin{aligned} r^2+(1-1)r+1&=0,\\[0.45em] r^2+1&=0,\\[0.45em] r&=\pm i. \end{aligned}$$

Así, $\alpha=0$ y $\beta=1$.

Paso 2 — construir la solución real.

$$y(x)=C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x).$$

Paso 3 — aplicar el PVI. La derivada es

$$y'(x)=\frac{-C_1\sin(\ln x)+C_2\cos(\ln x)}{x}.$$

Como $\ln 1=0$, las condiciones producen $C_1=1$ y $C_2=0$.

Explicación. Las raíces complejas generan oscilación armónica en la variable transformada $t=\ln x$.

Resultado.

$$\boxed{y(x)=\cos(\ln x)},\qquad x>0.$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. La indicial posee el par conjugado $0\pm i$.
• Herramienta. Se convierte $x^{\alpha\pm\beta i}$ en una base real con coseno y seno de $\beta\ln x$.
• Bifurcación. En el paso 2 aparecen funciones trigonométricas de $\ln x$ en lugar de potencias reales.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

Para $y=\cos(\ln x)$,

$$\begin{aligned} y'&=-\frac{\sin(\ln x)}{x},\\[0.45em] y''&=\frac{\sin(\ln x)-\cos(\ln x)}{x^2}. \end{aligned}$$

Por tanto,

$$\begin{aligned} x^2y''+xy'+y &=\sin(\ln x)-\cos(\ln x)-\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\\[0.45em] &=0. \end{aligned}$$

También se verifica $y(1)=1$ y $y'(1)=0$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Escribir $\cos x$ y $\sin x$ en lugar de $\cos(\ln x)$ y $\sin(\ln x)$.
• Omitir el factor $x^\alpha$ cuando la parte real de las raíces no es cero.
• Derivar $\cos(\ln x)$ sin el factor de cadena $1/x$.

Ejemplo Forma 3

Problema

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Dato. Identificar las magnitudes que entrega el enunciado.
• Herramienta. Seleccionar la técnica que corresponde a esta Forma.
• Bifurcación. Aplicar la primera decisión que separa este procedimiento.

Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Sustituir el resultado en la ecuación o condición del problema.

Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Revisar las restricciones, los signos y la interpretación del resultado.

Contexto de ingeniería: bobina de ignición

Una bobina de ignición real se modela, en primera aproximación, mediante ecuaciones lineales con coeficientes constantes. No es por sí sola una ecuación de Euler-Cauchy; su inclusión sirve para distinguir modelos físicos de dinámica temporal frente a modelos equidimensionales en una variable de escala.

Magnitud	Símbolo	Interpretación
Inductancia primaria	$L_p$	Almacenamiento de energía magnética
Resistencia primaria	$R_p$	Limitación de corriente y disipación
Tiempo de carga	$t_d$	Intervalo de conducción del transistor
Constante de tiempo	$\tau=L_p/R_p$	Escala de crecimiento de la corriente
Energía magnética	$E=\tfrac12L_pi^2$	Energía disponible antes de la descarga

Para $L_p=5\,\text{mH}$, $R_p=0.5\,\Omega$, $V_b=12\,\text{V}$ e $i(0)=0$,

$$\begin{aligned} \tau&=\frac{L_p}{R_p}=10\,\text{ms},\\[0.45em] i_\infty&=\frac{V_b}{R_p}=24\,\text{A},\\[0.45em] i(t)&=24\left(1-e^{-t/0.01}\right)\,\text{A}. \end{aligned}$$

A los $4\,\text{ms}$,

$$\begin{aligned} i(0.004)&\approx7.91\,\text{A},\\[0.45em] E&=\frac12(0.005)(7.91)^2\approx0.156\,\text{J}. \end{aligned}$$

El cálculo muestra cómo identificar correctamente la clase de ecuación antes de elegir un método: aquí corresponde una ED lineal de primer orden, mientras que Euler-Cauchy exige coeficientes proporcionados a potencias de la variable independiente.

Errores comunes transversales

Error	Consecuencia	Corrección
Usar $y=e^{rx}$ directamente	No se elimina la dependencia en $x$	Ensayar $y=x^r$
Omitir el $-1$ del coeficiente indicial	Se calculan raíces falsas	Partir de $r(r-1)+ar+b$
Tratar $x=0$ como punto ordinario	Se impone un PVI mal planteado	Trabajar en un semieje
Confundir oscilación en $x$ con oscilación en $\ln x$	Se interpreta mal la frecuencia	Examinar la solución en escala logarítmica
Forzar una aplicación física a la forma Cauchy	Se elige un modelo incorrecto	Clasificar primero los coeficientes de la ED

Resumen por versión

u5_t3_v0.md — matemática analítica

Incluye la teoría, los dos patrones resueltos, la transformación logarítmica y el contexto mínimo de ingeniería.

u5_t3_v1.md — añade verificación numérica

Incorpora integración RK4 reproducible en R para ambos problemas de valor inicial y comparación contra las soluciones exactas.

u5_t3_v2.md — añade análisis automotriz

Interpreta los resultados analíticos y numéricos desde la identificación de escalas, oscilaciones y límites del modelo de una bobina de ignición.