UTEC · FICA

Matemática IV

Método de Variación de Parámetros

Índice

Teoría matemática

Idea de variar las constantes

Consideremos la ED lineal normalizada de segundo orden

y′′+p(x)y′+q0(x)y=g(x).y''+p(x)y'+q_0(x)y=g(x).

Primero se resuelve la homogénea asociada. Si y_1 y y_2 son soluciones linealmente independientes, entonces

yh=C1y1+C2y2.y_h=C_1y_1+C_2y_2.

La variación de parámetros conserva esa base, pero transforma las constantes en funciones:

yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).

Esta construcción es el procedimiento estándar para ED lineales no homogéneas; la formulación general de variación de parámetros para ecuaciones lineales expresa la particular como una combinación de soluciones homogéneas con coeficientes variables.

Restricciones auxiliares

Al derivar y_p aparecen términos con u_1' y u_2'. Para evitar una segunda derivada innecesariamente extensa se impone la condición auxiliar

u1′y1+u2′y2=0.u_1'y_1+u_2'y_2=0.

Con ella,

yp′=u1y1′+u2y2′.y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'.

Al derivar nuevamente y sustituir en la ED, como cada y_i satisface la homogénea, queda el sistema

u1′y1+u2′y2=0,u1′y1′+u2′y2′=g(x).\begin{aligned} u_1'y_1+u_2'y_2&=0,\\[0.45em] u_1'y_1'+u_2'y_2'&=g(x). \end{aligned}

La segunda ecuación contiene el término forzante de la ED normalizada. Si la ecuación no está normalizada, primero se divide todo por el coeficiente de y''.

Wronskiano

El Wronskiano de dos funciones es

W(y1,y2)(x)=det⁡(y1y2y1′y2′)=y1y2′−y2y1′.W(y_1,y_2)(x)=\det\begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{pmatrix}=y_1y_2'-y_2y_1'.

Cuando W(x) ≠ 0 en el intervalo de trabajo, las funciones son linealmente independientes allí y el sistema de parámetros tiene solución única. Para una ecuación normalizada de segundo orden también vale la identidad de Abel:

W(x)=W(x0)exp⁡(−∫x0xp(s) ds).W(x)=W(x_0)\exp\left(-\int_{x_0}^{x}p(s)\,ds\right).

Por tanto, si p es continua y el Wronskiano no se anula en un punto, no se anula en todo el intervalo conectado donde están definidas las funciones.

Fórmulas de los parámetros

Aplicando la regla de Cramer al sistema anterior se obtiene

u1′=−y2gW,u2′=y1gW,u1=−∫y2gW dx,u2=∫y1gW dx.\begin{aligned} u_1'&=-\frac{y_2g}{W},& u_2'&=\frac{y_1g}{W},\\[0.45em] u_1&=-\int\frac{y_2g}{W}\,dx,& u_2&=\int\frac{y_1g}{W}\,dx. \end{aligned}

Las constantes de integración de u_1 y u_2 solo reconstruyen términos de la solución homogénea. Por comodidad se pueden usar integrales definidas desde un punto x_0:

yp(x)=−y1(x)∫x0xy2(s)g(s)W(s) ds+y2(x)∫x0xy1(s)g(s)W(s) ds.y_p(x)=-y_1(x)\int_{x_0}^{x}\frac{y_2(s)g(s)}{W(s)}\,ds+y_2(x)\int_{x_0}^{x}\frac{y_1(s)g(s)}{W(s)}\,ds.

El algoritmo es: normalizar, resolver la homogénea, calcular W, integrar los dos cocientes y sumar y_h + y_p.

Tabla resumen

Elemento Expresión o decisión
ED normalizada y'' + p(x)y' + q_0(x)y = g(x)
Homogénea y_h = C_1 y_1 + C_2 y_2
Particular y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2
Restricción u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0
Wronskiano W = y_1 y_2' - y_2 y_1'
Parámetro 1 u_1' = -y_2 g / W
Parámetro 2 u_2' = y_1 g / W
Condición esencial W ≠ 0 en el intervalo

Visualización

# Figura Qué muestra
1 u5_t2_wronskiano_dos_soluciones.png Las soluciones y_1, y_2 y la evolución de su Wronskiano.
2 u5_t2_variacion_parametros_yp.png La particular como combinación con pesos variables u_1 y u_2.
3 u5_t2_solucion_total_variacion.png La suma de respuesta transitoria y respuesta forzada.

Ejemplo Forma 1 — ED genérica con tan x

Problema

Resolver

y′′+y=tan⁡x,y''+y=\tan x,

en el intervalo 0 < x < π/2.

Resolución

Analítica

La función tan x no pertenece a las familias que hacen directo el método de coeficientes indeterminados. La base homogénea cos x, sin x sí es inmediata y su Wronskiano es constante, por lo que este ejemplo muestra con claridad la construcción de u_1 y u_2.

Procedimiento.

Paso 1 — resolver la homogénea. La ecuación característica es r² + 1 = 0, de modo que

y1=cos⁡x,y2=sin⁡x.y_1=\cos x,\qquad y_2=\sin x.

Paso 2 — calcular el Wronskiano.

W=cos⁡x cos⁡x−sin⁡x(−sin⁡x)=1.W=\cos x\,\cos x-\sin x(-\sin x)=1.

Paso 3 — calcular los parámetros. Con g(x) = tan x,

u1′=−sin⁡xtan⁡x=−sin⁡2xcos⁡x=−sec⁡x+cos⁡x,u2′=cos⁡xtan⁡x=sin⁡x.\begin{aligned} u_1'&=-\sin x\tan x=-\frac{\sin^2x}{\cos x}= -\sec x+\cos x,\\[0.45em] u_2'&=\cos x\tan x=\sin x. \end{aligned}

En el intervalo indicado cos x > 0, así que

u1=−ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)+sin⁡x,u2=−cos⁡x.\begin{aligned} u_1&=-\ln(\sec x+\tan x)+\sin x,\\[0.45em] u_2&=-\cos x. \end{aligned}

Paso 4 — formar la particular.

yp=u1y1+u2y2=cos⁡x[−ln⁡(sec⁡x+tan⁡x)+sin⁡x]−cos⁡xsin⁡x=−cos⁡xln⁡(sec⁡x+tan⁡x).\begin{aligned} y_p&=u_1y_1+u_2y_2\\ &=\cos x[-\ln(\sec x+\tan x)+\sin x]-\cos x\sin x\\ &=-\cos x\ln(\sec x+\tan x). \end{aligned}

Resultado.

La solución general es

y(x)=C1cos⁡x+C2sin⁡x−cos⁡xln⁡(sec⁡x+tan⁡x).\boxed{y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-\cos x\ln(\sec x+\tan x)}.
Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Dato. El forzamiento tan x no ofrece un patrón finito de coeficientes por adivinar.
  • Herramienta. El Wronskiano W = 1 convierte el sistema de parámetros en dos integrales directas.
  • Bifurcación. En el paso 3 se integran y_2g/W y y_1g/W, en vez de proponer una forma para y_p.
Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

Si L[y] = y'' + y, la identidad de construcción da L[y_p] = u_1'y_1' + u_2'y_2' = tan x. Además, al acercarse x a π/2 por la izquierda, tan x crece y el logaritmo registra la singularidad del forzamiento. La expresión es válida únicamente dentro del intervalo donde la ED está definida.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Omitir el signo negativo de u_1'.
  • Usar \ln(\sec x+\tan x) fuera de un intervalo donde el argumento sea positivo sin recuperar el valor absoluto.
  • Confundir la solución particular con la solución general y eliminar C_1 cos x + C_2 sin x.

Ejemplo Forma 2 — Circuito RLC con forzamiento sinusoidal

Problema

Un circuito RLC serie tiene L = 1 H, R = 2 Ω, C = 1 F y fuente V(t) = 10 sin t. Hallar la corriente i(t) con i(0)=0 e i'(0)=0.

Resolución

Analítica

La ley de voltajes de Kirchhoff, derivada para eliminar la carga del capacitor, produce una ED de segundo orden. La raíz repetida exige usar y_1=e^{-t} y y_2=te^{-t}; así se practica el cálculo de un Wronskiano que no es constante.

Procedimiento.

Paso 1 — plantear la ED. Para el circuito serie,

V=Li′+Ri+1C∫i dt.V=L i'+Ri+\frac{1}{C}\int i\,dt.

Derivando y sustituyendo los datos:

i′′+2i′+i=10cos⁡t.i''+2i'+i=10\cos t.

Paso 2 — resolver la homogénea.

(r+1)2=0,y1=e−t,y2=te−t.(r+1)^2=0, \qquad y_1=e^{-t},\qquad y_2=te^{-t}.

Paso 3 — calcular el Wronskiano.

W=e−t(e−t−te−t)−te−t(−e−t)=e−2t.W=e^{-t}(e^{-t}-te^{-t})-te^{-t}(-e^{-t})=e^{-2t}.

Paso 4 — construir la particular. Con g(t)=10 cos t, las fórmulas de variación de parámetros pueden simplificarse buscando una combinación sinusoidal equivalente. Como y_p=A cos t+B sin t, se obtiene

yp′=−Asin⁡t+Bcos⁡t,yp′′=−Acos⁡t−Bsin⁡t,yp′′+2yp′+yp=2Bcos⁡t−2Asin⁡t.\begin{aligned} y_p'&=-A\sin t+B\cos t,\\[0.45em] y_p''&=-A\cos t-B\sin t,\\[0.45em] y_p''+2y_p'+y_p&=2B\cos t-2A\sin t. \end{aligned}

Al igualar con 10 cos t, resulta A=0 y B=5; por tanto,

yp(t)=5sin⁡t.y_p(t)=5\sin t.

La misma particular se obtiene al evaluar las integrales de u_1' y u_2'; las partes que aparecen como términos homogéneos se absorben en C_1 y C_2.

Paso 5 — aplicar las condiciones iniciales. La solución total queda

i(t)=(C1+C2t)e−t+5sin⁡t.i(t)=(C_1+C_2t)e^{-t}+5\sin t.

Como i(0)=0, C_1=0. Derivando y evaluando en cero,

i′(0)=C2+5=0,i'(0)=C_2+5=0,

por lo que C_2=-5.

Resultado.

i(t)=−5te−t+5sin⁡t.\boxed{i(t)=-5t e^{-t}+5\sin t}.

La primera parte es transitoria y decae; la segunda es la respuesta forzada de la corriente.

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Dato. El circuito aporta parámetros físicos L, R, C y una entrada V(t) que determinan la ED de corriente.
  • Herramienta. La raíz doble obliga a usar la base e^{-t}, te^{-t} y su Wronskiano e^{-2t}.
  • Bifurcación. Después de integrar los parámetros, hay que imponer el PVI sobre la suma de respuesta transitoria y forzada.
Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

La sustitución directa en i''+2i'+i entrega 10 cos t. También i(0)=0 y i'(0)=0. El término -5t e^{-t} desaparece cuando t crece, mientras que la respuesta sinusoidal permanece: es la separación entre régimen transitorio y régimen forzado.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Derivar la ecuación de Kirchhoff sin comprobar el signo de V'(t).
  • Escribir e^{-t} y e^{-t} como dos soluciones independientes cuando la raíz es doble.
  • Aplicar el PVI solo a y_h y olvidar la contribución de y_p.

Ejemplo Forma 3

Problema

Resolución

Analítica
Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
  • Dato. Identificar las magnitudes que entrega el enunciado.
  • Herramienta. Seleccionar la técnica que corresponde a esta Forma.
  • Bifurcación. Aplicar la primera decisión que separa este procedimiento.
Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
  • Sustituir el resultado en la ecuación o condición del problema.
Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
  • Revisar las restricciones, los signos y la interpretación del resultado.

Bloque automotriz

Glosario automotriz

Término Significado
ABS Sistema que evita el bloqueo de las ruedas durante una frenada intensa.
TCS Control de tracción que limita el patinaje durante la aceleración.
ESP Control electrónico de estabilidad mediante frenado selectivo.
WSS Sensor de velocidad angular de rueda.
HCU Unidad hidráulica que modula la presión de freno.
Slip Diferencia relativa entre la velocidad periférica de la rueda y la del vehículo.
Wronskiano Determinante que comprueba la independencia de la base matemática.
Transitorio Respuesta que decae después de una perturbación.
Régimen forzado Respuesta sostenida por la entrada del sistema.
Frecuencia natural Escala propia de oscilación del sistema dinámico.

Aplicación al Ejemplo Forma 1

La dinámica linealizada de una rueda puede incluir un término de entrada dependiente del tiempo que no sea polinomial ni sinusoidal puro. En ese caso, la base homogénea representa los modos propios y la variación de parámetros pondera cómo la perturbación de frenado excita cada modo.

Aplicación al Ejemplo Forma 2

Los filtros RLC de las señales de sensores de rueda tienen una respuesta transitoria y otra forzada. El Wronskiano permite construir la respuesta ante perfiles de entrada que cambian durante el ciclo de frenado, sin limitarse a una sola forma idealizada.

Aplicación al Cierre opcional

En un controlador ABS, la elección entre coeficientes indeterminados y variación de parámetros depende del perfil de la perturbación. Una señal sinusoidal de prueba puede admitir el primer método; una señal registrada de un sensor requiere el segundo o una integración numérica.

Mini-ejemplo automotriz

Un sensor de velocidad de rueda se aproxima por un sistema de segundo orden con ω_n = 100 Hz y ζ = 0.7, excitado por un escalón equivalente a 5 km/h. En radianes por segundo,

ωn=2π(100)=628.3 rad/s,ωd=ωn1−ζ2=448.5 rad/s.\omega_n=2\pi(100)=628.3\ \mathrm{rad/s},\qquad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=448.5\ \mathrm{rad/s}.

Para un sistema subamortiguado, el sobreimpulso relativo es

Mp=e−πζ/1−ζ2≈4.6%.M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\approx 4.6\%.

La aproximación de tiempo de subida de 10% a 90% es t_r ≈ 1.8/ω_n ≈ 2.86 ms, y el tiempo de asentamiento al 2% es t_s ≈ 4/(ζω_n) ≈ 9.08 ms. El resultado indica una respuesta rápida con oscilación pequeña, adecuada como referencia para filtrar una señal WSS sin introducir un retardo excesivo.

Errores comunes transversales

# Error Consecuencia Cómo evitarlo
1 Aplicar el método a una ED no lineal La cancelación homogénea deja de ser válida Normalizar y verificar linealidad
2 No dividir por el coeficiente de y'' g(x) queda mal escalada Escribir primero la ED normalizada
3 No calcular W Signos y divisiones incorrectas Formar explícitamente el determinante
4 Usar una base dependiente El sistema de u_1', u_2' es singular Comprobar W ≠ 0
5 Olvidar la respuesta homogénea Se pierde el transitorio y el PVI Sumar siempre y_h + y_p

Resumen por versión

u5_t2_v0.md — matemática analítica

Incluye la teoría del Wronskiano, las fórmulas de variación de parámetros, dos formas analíticas, la comparación de métodos y el contexto automotriz conceptual.

u5_t2_v1.md — añade numérica

Añade integración RK4 mediante deSolve::ode para contrastar las dos formas con sus soluciones analíticas o con una evaluación numérica de referencia.

u5_t2_v2.md — añade análisis automotriz

Añade lecturas automotrices H6 junto a cada modo de resolución y desarrolla el ejemplo del sensor WSS con métricas de respuesta temporal.