Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Definición para el alumno
  • Definición formal
  • Reglas de Restricción
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Restricción Única (TPS)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Restricción Múltiple (MAP + IAT)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 3: Restricciones Heterogéneas (UEGO / Lambda)
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

Teoría matemática

Definición para el alumno

Una función de dos variables $f(x,y)$ es una "máquina" que recibe un punto del plano $(x,y)$ y devuelve un número real $z$. La máquina no acepta cualquier punto: hay puntos donde la fórmula "explota" (raíz de negativo, división entre cero, logaritmo de cero). Al conjunto de puntos que sí acepta lo llamamos dominio. Al conjunto de números que la máquina puede entregar lo llamamos rango.

Por qué importa: si vas a usar la función (en un sensor, en un motor, en una ECU), primero tienes que saber en qué condiciones funciona y qué valores puede dar. Eso es, literalmente, dominio y rango.

Definición formal

$$\begin{aligned} \operatorname{Dom}(f) &:= \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} : f(x,y) \in \mathbb{R}\} \\ \operatorname{Rgo}(f) &:= \{z\in\mathbb{R} : \exists\,(x,y)\in\operatorname{Dom}(f) \text{ con } f(x,y)=z\} \end{aligned}$$

Cómo se lee en español llano:

• Dominio: los puntos del piso $(x,y)$ donde la máquina no se rompe.
• Rango: los números que la máquina puede sacar por la pantalla $z$.

Una asimetría importante:

• El dominio se impone por restricciones (el logaritmo exige argumento positivo, el denominador no puede ser cero, etc.).
• El rango se descubre a partir de la imagen de la función; a veces es todo $\mathbb{R}$, a veces un intervalo, a veces una curva.

Reglas de Restricción

Cada operación en la fórmula impone una condición algebraica sobre $(x,y)$. El dominio final es la intersección de todas esas condiciones.

• Fracción $\dfrac{g}{h}$. Condición $h(x,y) \neq 0$ — división entre cero no definida. Frontera: abierta.
• Raíz par $\sqrt[n]{g}$ ($n$ par). Condición $g(x,y) \geq 0$ — solo reales $\geq 0$ tienen raíz par real. Frontera: cerrada.
• Logaritmo $\log_a(g)$. Condición $g(x,y) > 0$ — argumento estricto. Frontera: abierta.
• Tangente $\tan(g)$. Condición $g(x,y) \neq \pi/2 + k\pi$ — asíntotas verticales. Frontera: abierta.
• arcsen(g), arccos(g). Condición $-1 \leq g(x,y) \leq 1$ — argumento debe caer en el dominio de la inversa. Frontera: cerrada en ambos extremos.

Idea-fuerza para el alumno: cada regla convierte la fórmula en una inecuación sobre $x$ e $y$. El dominio final es la intersección de todas esas inecuaciones.

Visualización

• Figura 1 — Dominio TPS como región del plano.

  

  Figura 1. Disco cerrado de radio 3: dominio de la Forma 1, $f(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}$, con rango $[0,3]$.

  Forma 1: $\sqrt{9-x^2-y^2}$. Mensaje: el dominio es una región del plano y el rango, un intervalo cerrado y acotado.

• Figura 2 — Un dominio se puede leer como un mapa.

  

  Figura 2. Curvas de nivel sobre el dominio TPS: la Forma 1 vista como un mapa topográfico.

  Forma 1. Mensaje: un dominio admite lectura como mapa de alturas análoga a las curvas de nivel.

• Figura 3 — Rango no acotado del paraboloide.

  

  Figura 3. Paraboloide $z=x^2+y^2$: el rango crece sin cota superior.

  Función: $z=x^2+y^2$. Mensaje: el rango no está acotado, $[0,+\infty)$.

• Figura 4 — Rango cerrado y acotado de la semiesfera.

  

  Figura 4. Semiesfera superior de radio $R$: el rango es cerrado y acotado.

  Función: $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, $R=3$. Mensaje: el rango es cerrado y acotado, $[0,R]$.

• Figura 5 — Varias restricciones combinadas pueden dar un anillo.

  

  Figura 5. Corona anular $1<x^2+y^2<4$: dominio típico de la Forma 2 con dos restricciones combinadas.

  Forma 2: corona $1<x^2+y^2<4$. Mensaje: combinar varias restricciones puede producir regiones no conexas como un anillo.

Ejemplo Forma 1: Restricción Única (TPS)

Problema

Hallar el dominio y el rango de

$$f(x,y) = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Una sola operación restringida (raíz).
• Herramienta. Despeje algebraico del radicando + lectura como disco cerrado.
• Bifurcación. Paso 1: la frontera se incluye (raíz par $\Rightarrow$ $\geq$, no $>$).

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Punto $(0,0)$. Pertenece al dominio: sí. Valor: $f(0,0) = 3$ — máximo del rango.
• Punto $(3,0)$. Pertenece al dominio: sí. Valor: $f(3,0) = 0$ — frontera, sí pertenece (raíz par $\Rightarrow$ $\geq$, no $>$).
• Punto $(4,0)$. Pertenece al dominio: no. Valor: no existe — exterior del disco.

Procedimiento detallado:

1. Detectar la única restricción: raíz cuadrada.
2. Radicando $\geq 0$: $9 - x^2 - y^2 \geq 0$.
3. Equivalentemente: $x^2 + y^2 \leq 9$.
4. Geométricamente: disco cerrado de radio $3$.
5. Rango: $f\geq 0$ siempre; $f(0,0)=\sqrt{9}=3$ es el máximo.

$$\operatorname{Dom}(f) = \{(x,y):x^2+y^2\leq 9\},\qquad \operatorname{Rgo}(f) = [0,3].$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Invertir la desigualdad y escribir $x^2+y^2\geq 9$.
• Excluir la frontera y escribir $x^2+y^2<9$.
• Reportar el dominio como si fuera el rango.

Ejemplo Forma 2: Restricción Múltiple (MAP + IAT)

Problema

Hallar el dominio de

$$f(x,y) = \dfrac{\ln(x^{2}+y^{2}-1)}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Varias restricciones que comparten estructura algebraica (todas dependen de $x^2+y^2$).
• Herramienta. Reescribir cada restricción como inecuación sobre la misma expresión y luego intersectar.
• Bifurcación. Paso 2: la frontera se excluye (logaritmo + denominador). Se opone a la Forma 1.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Punto $(0,\sqrt{2})$. Pertenece: sí. Valor: $f = 0$ — interior de la corona ($x^2+y^2 = 2$ cumple $1 < 2 < 4$).
• Punto $(1,0)$. Pertenece: no. Valor: no existe — frontera interior excluida (el logaritmo exige $>$, no $\geq$).
• Punto $(2,0)$. Pertenece: no. Valor: no existe — frontera exterior excluida (denominador $\sqrt{4-x^2-y^2}$ exige $>$, no $\geq$).
• Punto $(\sqrt{3},0)$. Pertenece: sí. Valor: $f = \ln 2$ — interior válido ($x^2+y^2 = 3$ cumple $1 < 3 < 4$).

Procedimiento detallado:

1. Detectar tres restricciones:
   • $\ln(x^2+y^2-1)$ exige $x^2+y^2-1>0$.
   • $\sqrt{4-x^2-y^2}$ exige $4-x^2-y^2\geq 0$, y como está en el denominador, $>0$.
   • El denominador exige la raíz estrictamente positiva.
2. Traducir a inecuaciones sobre la misma magnitud $x^2+y^2$:
   • $x^2+y^2>1$ (logaritmo estricto).
   • $x^2+y^2<4$ (denominador).
3. Intersección: $1<x^2+y^2<4$.
4. Geométricamente: corona circular abierta entre radios $1$ y $2$.

$$\operatorname{Dom}(f) = \{(x,y):1<x^{2}+y^{2}<4\}.$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Cerrar las desigualdades y escribir $1\leq x^2+y^2\leq 4$.
• Olvidar el denominador y aceptar $x^2+y^2\leq 4$.
• Invertir la condición del logaritmo (escribir $\ln(\cdots)\geq 0$).

Ejemplo Forma 3: Restricciones Heterogéneas (UEGO / Lambda)

Problema

Hallar el dominio y caracterizar el rango de

$$\lambda(V,T) = \sqrt{\ln(V^{2}+T^{2}-1)} + \dfrac{1}{V-T}.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Dato. Restricciones que no comparten estructura: una radial ($V^2+T^2>k$) y una lineal ($V\neq T$).
• Herramienta. Intersección mixta: región del plano con un hueco recto.
• Bifurcación. Paso 3: aparece una frontera no cerrada (la recta $V=T$); el rango se vuelve no acotado por la presencia de la fracción.

Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Punto $(2,0)$. Pertenece: sí. Valor: $\lambda = \sqrt{\ln 3}$ — dentro del anillo ($V^2+T^2 = 4 > 2$) y fuera de la recta ($2 \neq 0$).
• Punto $(1,1)$. Pertenece: no. Valor: no existe — viola $V \neq T$ (denominador $\frac{1}{V-T}$ explota).
• Punto $(0,\sqrt{3})$. Pertenece: sí. Valor: $\lambda = \sqrt{\ln 2} + \dfrac{1}{-\sqrt{3}}$ — anillo válido ($V^2+T^2 = 3 > 2$) y $V \neq T$ ($0 \neq \sqrt{3}$).
• Punto $(0.5, 0.5)$. Pertenece: no. Valor: no existe — anillo no cumplido ($V^2+T^2 = 0.5 \not> 2$) y coincide con la recta ($V = T$).

Procedimiento detallado:

1. Detectar restricciones:
   • $\ln(V^2+T^2-1)>0$ (logaritmo, y además $>0$, no $\geq 0$).
   • $\sqrt{\ln(\cdots)}$ exige el argumento del logaritmo $\geq 0$, pero la condición del logaritmo estricto ya implica eso.
   • $\dfrac{1}{V-T}$ exige $V\neq T$ (denominador).
2. Reescribir:
   • $V^2+T^2>2$ (radial).
   • $V\neq T$ (lineal).
3. Intersección: región del plano con $r>\sqrt{2}$ y $V\neq T$ (anillo con un corte recto excluido).
4. Rango: acotado parcialmente por la primera raíz ($\geq 0$), pero la fracción $\frac{1}{V-T}$ puede tomar cualquier valor no nulo. Sin más información, $\operatorname{Rgo}\approx(-1,\infty)\setminus\{0\}$ aproximado (se demuestra con elección de $(V,T)$ adecuada).

$$\operatorname{Dom}(\lambda) = \{(V,T)\in\mathbb{R}^{2}:V^{2}+T^{2}>2,\ V\neq T\}$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Olvidar que el logaritmo exige $>0$, no $\geq 0$ (la frontera $V^2+T^2=2$ queda excluida).
• Creer que $V\neq T$ es "automático" y no escribirlo explícitamente.
• Asumir que el rango es todo $\mathbb{R}$; en este caso hay un acotamiento parcial por la raíz.