Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Volumen bajo una superficie
  • Volumen entre dos superficies
  • Caso particular: altura constante
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Volumen bajo una superficie sobre un rectángulo
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Volumen entre dos superficies de un tanque
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Errores comunes transversales

Teoría matemática

Volumen bajo una superficie

Si $f(x,y)\ge 0$ sobre una región $R$, el volumen comprendido entre $z=f(x,y)$ y el plano $z=0$ es

$$V=\iint_R f(x,y)\,dA.$$

Esta interpretación coincide con la descripción de la integral múltiple como volumen bajo una superficie: cada elemento $dA$ aporta aproximadamente una columna de volumen $f(x,y)\,dA$.

Volumen entre dos superficies

Si $z=f(x,y)$ es la superficie superior y $z=g(x,y)$ la inferior, con $f(x,y)\ge g(x,y)$ en toda $R$, entonces

$$V=\iint_R\bigl[f(x,y)-g(x,y)\bigr]dA.$$

La función $f-g$ es la altura vertical del sólido. Antes de integrar se debe comprobar su signo; si las superficies intercambian posiciones, la región debe particionarse.

Caso particular: altura constante

Cuando la altura es una constante $h$,

$$V=\iint_Rh\,dA=h\iint_R1\,dA=h\operatorname{Area}(R).$$

Así se recupera la fórmula del prisma. La misma referencia sobre integrales múltiples confirma que integrar una constante equivale a multiplicarla por la medida de la región.

Idea-fuerza

Dibuja la base $R$, identifica qué superficie está arriba y construye primero la altura local. El volumen integra una longitud sobre un área, por eso sus unidades son cúbicas.

Visualización

• Figura 1 — Volumen bajo una superficie.

  

  Figura 1. Cada columna diferencial sobre $(x,y)$ aporta un volumen $f(x,y)\,\Delta x\,\Delta y$ y la integral los suma sobre toda la base $R$.

• Figura 2 — Volumen entre dos superficies.

  

  Figura 2. Entre dos superficies, la altura local es la diferencia $f(x,y)-g(x,y)$ siempre que $f\ge g$ sobre la región de integración.

• Figura 3 — Región base y tapa del modelo de tanque.

  

  Figura 3. La región proyectada sobre el plano $xy$ y las superficies del tanque muestran cómo armar la integral doble del volumen.

Ejemplo Forma 1: Volumen bajo una superficie sobre un rectángulo

Problema

Calcular el volumen bajo $z=4-x^2-y$ y sobre el rectángulo $R=[0,1]\times[0,2]$.

Resolución

Analítica

En $R$, el mínimo de la altura ocurre en $(1,2)$ y vale $1$, por lo que la función es no negativa. Como la región es rectangular, Fubini permite escribir

$$\begin{aligned} V&=\int_0^1\!\int_0^2(4-x^2-y)\,dy\,dx \\ &=\int_0^1\left[4y-x^2y-\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{2}dx \\ &=\int_0^1(6-2x^2)\,dx \\ &=\left[6x-\frac{2x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{16}{3}. \end{aligned}$$

Explicación. La integral interior suma alturas en dirección $y$; la exterior acumula las láminas resultantes a lo largo de $x$.

Resultado. El volumen es $V=16/3\approx5{,}333$ unidades cúbicas.

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Se entrega una sola superficie no negativa y una base rectangular.
• Herramienta. Se aplica Fubini directamente a la altura $f(x,y)$.
• Bifurcación. En el paso 1 se verifica $f\ge0$ antes de tratar la integral como volumen geométrico.
• Fuente validada. https://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

La base tiene área $2$ y la altura satisface $1\le f(x,y)\le4$. Por monotonicidad,

$$2\le V\le8.$$

El valor $16/3$ está dentro de esas cotas. Además, al invertir el orden se obtiene

$$\int_0^2\!\int_0^1(4-x^2-y)\,dx\,dy=\int_0^2\left(\frac{11}{3}-y\right)dy=\frac{16}{3}.$$

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Integrar $1$ en vez de $4-x^2-y$ y calcular solo el área de la base.
• Omitir la comprobación $f\ge0$ y confundir volumen con volumen firmado.
• Alterar los límites al cambiar el orden, aunque la base siga siendo el mismo rectángulo.

Ejemplo Forma 2: Volumen entre dos superficies de un tanque

Problema

La proyección horizontal de un tanque es $R=[0,0{,}4]\times[0,0{,}4]$ m. Su tapa es $z_t(x,y)=0{,}30-0{,}05x$ m y su fondo es $z_f(x,y)=0{,}05+0{,}02y$ m. Calcular su capacidad geométrica.

Resolución

Analítica

La altura local es

$$h(x,y)=z_t-z_f=0{,}25-0{,}05x-0{,}02y.$$

Como $h$ decrece con $x$ e $y$, su mínimo ocurre en $(0{,}4,0{,}4)$:

$$h(0{,}4,0{,}4)=0{,}222>0.$$

Por tanto, la tapa permanece sobre el fondo en todo $R$. El volumen es

$$\begin{aligned} V&=\int_0^{0{,}4}\!\int_0^{0{,}4}(0{,}25-0{,}05x-0{,}02y)\,dy\,dx \\ &=\int_0^{0{,}4}(0{,}0984-0{,}02x)\,dx \\ &=\left[0{,}0984x-0{,}01x^2\right]_{0}^{0{,}4} \\ &=0{,}03776\ \text{m}^3. \end{aligned}$$

Explicación. No se integra la altura de la tapa desde $z=0$; se integra la separación vertical entre tapa y fondo.

Resultado. La capacidad geométrica es $V=0{,}03776\ \text{m}^3=37{,}76$ L.

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Se entregan dos superficies y debe determinarse cuál está arriba.
• Herramienta. Se integra la diferencia $z_t-z_f$ sobre la proyección común.
• Bifurcación. En el paso 1 se construye y valida la altura local antes de plantear la integral.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

El área de la base es $0{,}16\ \text{m}^2$ y la altura local cumple $0{,}222\le h\le0{,}25$ m. Por tanto,

$$0{,}03552\le V\le0{,}04000\ \text{m}^3.$$

El resultado $0{,}03776\ \text{m}^3$ pertenece al intervalo. La altura promedio implícita es

$$\overline{h}=\frac{V}{\operatorname{Area}(R)}=\frac{0{,}03776}{0{,}16}=0{,}236\ \text{m},$$

que también queda entre la altura mínima y la máxima.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Restar $z_f-z_t$ y obtener un volumen negativo.
• Usar únicamente $z_t$ y contar como capacidad el espacio situado debajo del fondo.
• Convertir de metros cúbicos a litros con un factor incorrecto: $1\ \text{m}^3=1000$ L.

Errores comunes transversales

• Confundir $\iint_R1\,dA$ con $\iint_Rf\,dA$. Consecuencia: se reporta área en lugar de volumen. Prevención: revisar las unidades del integrando y de $dA$.
• No identificar techo y fondo. Consecuencia: altura negativa o sólido equivocado. Prevención: evaluar $f-g$ en puntos críticos o extremos de $R$.
• Mezclar centímetros y metros. Consecuencia: el volumen cambia por factores cúbicos. Prevención: convertir todas las longitudes antes de integrar.
• Aplicar área por altura a una altura variable. Consecuencia: se pierde la geometría de la superficie. Prevención: usar $h\operatorname{Area}(R)$ solo si $h$ es constante.