Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Modelo masa-resorte-amortiguador
  • Parámetros normalizados
  • Tres regímenes
  • Energía y estabilidad
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: comparación de tres regímenes
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: circuito RLC paralelo
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 3
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)
• Contexto de ingeniería: suspensión vehicular
• Errores comunes transversales
• Resumen por versión
  • u5_t4_v0.md — matemática analítica
  • u5_t4_v1.md — añade verificación numérica
  • u5_t4_v2.md — añade análisis automotriz
• Cierre de la ruta

Teoría matemática

Modelo masa-resorte-amortiguador

El balance de fuerzas para una masa, un resorte lineal y un amortiguador viscoso es

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t).$$

En vibración libre, $F(t)=0$. La clasificación subamortiguada, crítica y sobreamortiguada coincide con la descripción del oscilador armónico amortiguado y sus análogos eléctricos.

Parámetro	Unidad	Función
$m$	kg	Inercia
$c$	N·s/m	Disipación viscosa
$k$	N/m	Fuerza restauradora
$x(t)$	m	Desplazamiento respecto del equilibrio

Parámetros normalizados

Al dividir entre $m$,

$$\ddot{x}+2\zeta\omega_n\dot{x}+\omega_n^2x=0,$$

donde

$$\begin{aligned} \omega_n&=\sqrt{\frac{k}{m}},\\[0.45em] c_c&=2\sqrt{km},\\[0.45em] \zeta&=\frac{c}{c_c}=\frac{c}{2m\omega_n}. \end{aligned}$$

Si $0\leq\zeta<1$, la frecuencia amortiguada es

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.$$

Tres regímenes

La ecuación característica $mr^2+cr+k=0$ determina el comportamiento.

Régimen	Condición	Solución libre
Subamortiguado	$0\leq\zeta<1$	$e^{-\zeta\omega_nt}[C_1\cos(\omega_dt)+C_2\sin(\omega_dt)]$
Crítico	$\zeta=1$	$(C_1+C_2t)e^{-\omega_nt}$
Sobreamortiguado	$\zeta>1$	$C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}$

El régimen crítico es la frontera entre respuesta oscilatoria y no oscilatoria. Para unas condiciones dadas suele ofrecer el retorno no oscilatorio más rápido; aumentar $c$ más allá del crítico introduce un modo lento.

Energía y estabilidad

La energía mecánica es

$$E(t)=\frac12m\dot{x}^2+\frac12kx^2.$$

Derivando y usando la ecuación libre,

$$\begin{aligned} \dot{E}&=m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x},\\[0.45em] &=\dot{x}(m\ddot{x}+kx),\\[0.45em] &=-c\dot{x}^2\leq0. \end{aligned}$$

Por ello, si $m,k,c>0$, la energía no aumenta y la respuesta libre converge al equilibrio.

Visualización

Figura 1. Respuestas subamortiguada, crítica y sobreamortiguada con la misma masa y rigidez.

Figura 2. La oscilación queda acotada por una envolvente que decae exponencialmente.

Figura 3. El modo lento hace que la respuesta sobreamortiguada tarde más en acercarse al equilibrio.

Ejemplo Forma 1: comparación de tres regímenes

Problema

Un sistema tiene $m=1\,\text{kg}$, $k=100\,\text{N/m}$, $x(0)=1\,\text{m}$ y $\dot{x}(0)=0$. Determinar la respuesta para $c=4$, $20$ y $40\,\text{N·s/m}$.

Resolución

Analítica

Los valores comunes son $\omega_n=10\,\text{rad/s}$ y $c_c=20\,\text{N·s/m}$.

Caso subamortiguado, $c=4$. Aquí $\zeta=0.2$, $\zeta\omega_n=2$ y $\omega_d=4\sqrt6\approx9.798$.

$$x_a(t)=e^{-2t}\left[\cos(4\sqrt6t)+\frac{1}{2\sqrt6}\sin(4\sqrt6t)\right].$$

Caso crítico, $c=20$. La raíz doble es $r=-10$. El PVI produce

$$x_b(t)=(1+10t)e^{-10t}.$$

Caso sobreamortiguado, $c=40$. Las raíces son $r_1=-20+10\sqrt3$ y $r_2=-20-10\sqrt3$. Al aplicar el PVI,

$$x_c(t)=\left(\frac12+\frac{1}{\sqrt3}\right)e^{(-20+10\sqrt3)t}+\left(\frac12-\frac{1}{\sqrt3}\right)e^{(-20-10\sqrt3)t}.$$

Explicación. El coeficiente $c$ modifica la naturaleza de las raíces sin cambiar la frecuencia natural no amortiguada.

Resultado. El primer caso oscila; el segundo retorna sin oscilar y sin modo lento; el tercero tampoco oscila, pero conserva el modo $e^{(-20+10\sqrt3)t}$ de decaimiento relativamente lento.

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Solo cambia $c$ mientras $m$, $k$ y el PVI permanecen fijos.
• Herramienta. Se calcula $\zeta=c/c_c$ para seleccionar la familia de soluciones.
• Bifurcación. La construcción cambia después de clasificar las raíces como complejas, dobles o reales distintas.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

Las tres expresiones cumplen $x(0)=1$ y $\dot{x}(0)=0$. Además, todos sus exponentes reales son negativos, por lo que $x(t)\to0$ cuando $t\to\infty$.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Afirmar que el mayor $c$ produce siempre el retorno más rápido.
• Confundir $\omega_n$ con $\omega_d$.
• Redondear las raíces antes de calcular las constantes del PVI.

Ejemplo Forma 2: circuito RLC paralelo

Problema

Un circuito RLC paralelo tiene $L=1\,\text{H}$, $R=10\,\Omega$ y $C=0.1\,\text{F}$. Si $v(0)=12\,\text{V}$ e $i_L(0)=0$, hallar la respuesta natural del voltaje.

Resolución

Analítica

La ley de corrientes y la relación del inductor son

$$\begin{aligned} C\dot{v}+\frac{v}{R}+i_L&=0,\\[0.45em] L\dot{i}_L&=v. \end{aligned}$$

Al derivar la primera ecuación,

$$\ddot{v}+\frac{1}{RC}\dot{v}+\frac{1}{LC}v=0.$$

Por comparación, $\omega_n=\sqrt{10}$, $2\zeta\omega_n=1$ y $\omega_d=\sqrt{39}/2$. Además, KCL en $t=0$ da $\dot v(0)=-12\,\text{V/s}$. Así,

$$v(t)=e^{-t/2}\left[12\cos\left(\frac{\sqrt{39}}{2}t\right)-\frac{12}{\sqrt{39}}\sin\left(\frac{\sqrt{39}}{2}t\right)\right].$$

Explicación. El voltaje cumple la misma forma normalizada que el desplazamiento mecánico, aunque las correspondencias dimensionales dependen de la analogía elegida.

Resultado.

$$\boxed{v(t)=e^{-t/2}\left[12\cos\left(\frac{\sqrt{39}}{2}t\right)-\frac{12}{\sqrt{39}}\sin\left(\frac{\sqrt{39}}{2}t\right)\right]\ \text{V}}.$$

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Las condiciones iniciales incluyen voltaje de capacitor y corriente de inductor.
• Herramienta. KCL permite convertir $i_L(0)$ en el dato derivado $\dot v(0)$.
• Bifurcación. Antes de resolver la característica se deriva la ecuación de circuito para eliminar $i_L$.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

La expresión cumple $v(0)=12$ y $\dot v(0)=-12$. Su envolvente $e^{-t/2}$ tiende a cero, de acuerdo con la disipación en la resistencia.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Usar la ecuación de un RLC serie sin revisar la variable de salida.
• Suponer que $i_L(0)=0$ implica $\dot v(0)=0$.
• Mezclar unidades de milifaradios y faradios.

Ejemplo Forma 3

Problema

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Dato. Identificar las magnitudes que entrega el enunciado.
• Herramienta. Seleccionar la técnica que corresponde a esta Forma.
• Bifurcación. Aplicar la primera decisión que separa este procedimiento.

Verificación (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Sustituir el resultado en la ecuación o condición del problema.

Errores comunes (Ejemplo Forma 3 · Analítica)

• Revisar las restricciones, los signos y la interpretación del resultado.

Contexto de ingeniería: suspensión vehicular

Un modelo de cuarto de vehículo representa una esquina mediante masa suspendida, resorte y amortiguador. Para $m_s=350\,\text{kg}$, $k=28\,\text{kN/m}$ y $\zeta=0.3$,

$$\begin{aligned} \omega_n&=\sqrt{28000/350}=\sqrt{80}\approx8.944\,\text{rad/s},\\[0.45em] f_n&=\frac{\omega_n}{2\pi}\approx1.423\,\text{Hz},\\[0.45em] \omega_d&=\omega_n\sqrt{1-0.3^2}\approx8.532\,\text{rad/s}. \end{aligned}$$

Ante un escalón ideal de camino $h=0.05\,\text{m}$, con posición y velocidad iniciales nulas,

$$x(t)=0.05\left[1-e^{-2.683t}\left(\cos(8.532t)+0.3145\sin(8.532t)\right)\right].$$

El sobreimpulso relativo ideal es

$$M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\approx0.372.$$

Este modelo permite interpretar confort y asentamiento, pero omite masa no suspendida, neumático, topes, fricción seca y leyes no lineales del amortiguador.

Errores comunes transversales

Error	Consecuencia	Corrección
Asociar más amortiguamiento con mayor rapidez	Se interpreta mal el régimen sobreamortiguado	Comparar raíces y modos dominantes
Confundir frecuencia natural y amortiguada	Período incorrecto	Usar $\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$
Ignorar condiciones eléctricas iniciales	Constantes equivocadas	Aplicar KCL o KVL en $t=0$
Aplicar el modelo lineal fuera de rango	Predicción física irreal	Declarar saturaciones y no linealidades
Confundir excitación de base con fuerza aplicada	Función de transferencia incorrecta	Derivar el balance según la entrada real

Resumen por versión

u5_t4_v0.md — matemática analítica

Incluye clasificación, energía, respuestas mecánica y eléctrica, resonancia y modelo mínimo de suspensión.

u5_t4_v1.md — añade verificación numérica

Incorpora RK4 para comparar los tres regímenes y para verificar la descarga RLC.

u5_t4_v2.md — añade análisis automotriz

Interpreta asentamiento, confort, resonancia y límites del modelo de cuarto de vehículo.

Cierre de la ruta

Las cinco unidades conectan cálculo multivariable, integrales múltiples y ecuaciones diferenciales con modelos de sensores, circuitos, actuadores y sistemas vehiculares. El criterio transversal es identificar variables, dominio, unidades, hipótesis y método antes de efectuar cálculos.