Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno
  • Caso de una variable
  • Teorema de la función implícita (idea)
  • Sistema de ecuaciones implícitas
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Derivada implícita de una variable
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Sistema implícito 2×2
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
• Errores comunes transversales

Teoría matemática

Idea para el alumno

Cuando una variable no está despejada, sino definida implícitamente por una ecuación $F(x, y) = 0$, aún podemos hallar su derivada sin resolver la ecuación. La clave es derivar toda la ecuación y aislar la derivada buscada.

Caso de una variable

Si $F(x, y) = 0$ define a $y$ como función implícita de $x$, y $F$ es continuamente diferenciable con $F_y \neq 0$, entonces:

$$\frac{d y}{d x} = -\frac{F_x(x, y)}{F_y(x, y)}.$$

Cómo se lee: derivamos la ecuación implícita tratando $y$ como función de $x$, lo que introduce $dy/dx$ en la derivada $F_y$. Luego despejamos.

Teorema de la función implícita (idea)

Bajo las hipótesis ($F$ continuamente diferenciable, $F_y \neq 0$), existe una función $y = \varphi(x)$ definida en un entorno del punto, que satisface $F(x, \varphi(x)) \equiv 0$ y cuya derivada viene dada por la fórmula anterior. Si $F_y = 0$, el teorema no aplica y la derivada puede no existir.

Sistema de ecuaciones implícitas

Si tenemos un sistema

$$\begin{cases} F(x, y, u, v) = 0 \\ G(x, y, u, v) = 0 \end{cases}$$

que define implícitamente $(u, v)$ como funciones de $(x, y)$ (con variables libres $x, y$ e incógnitas $u, v$), entonces las derivadas se obtienen resolviendo un sistema lineal con el Jacobiano respecto a las incógnitas:

$$\begin{pmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_x \\ v_x \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} F_x \\ G_x \end{pmatrix},$$

y análogamente para $u_y, v_y$ cambiando el lado derecho a $(-F_y, -G_y)^T$. La condición de existencia es que el Jacobiano sea invertible: $\det J \neq 0$.

Visualización

• Figura 1 — Implicitas Superficie 3d. Mensaje: "Una superficie $F(x,y,z)=0$ en el espacio".
• Figura 2 — Derivadas Implicitas Xy. Mensaje: "Curva implícita con pendiente en un punto".
• Figura 3 — Sistema Dos Ecuaciones. Mensaje: "Dos curvas que se cortan en un punto".

Ejemplo Forma 1: Derivada implícita de una variable

Problema

$$F(x, y) = x^2 + y^2 - 25 = 0.$$

Hallar $dy/dx$ en los puntos $(3, 4)$, $(0, 5)$, $(3, -4)$ y discutir $(5, 0)$.

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Ecuación $F(x, y) = 0$ con $F$ continuamente diferenciable y $F_y \neq 0$ en el punto.
• Herramienta. Calcular $F_x$ y $F_y$, aplicar $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}$.
• Bifurcación. Paso 1: no se despeja $y$; se deriva la ecuación implícita directamente.

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Derivadas parciales de $F$:

$$F_x = 2x,\qquad F_y = 2y.$$

2. Aplicar la fórmula:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y},\quad y \neq 0.$$

3. Verificación con la fórmula explícita: $y = \sqrt{25 - x^2}$ da $dy/dx = -x/\sqrt{25-x^2} = -x/y$. ✓

4. Evaluación en cuatro puntos:

• Punto $(3, 4)$. $dy/dx = -3/4 = -0{,}75$. Interpretación: pendiente negativa en el primer cuadrante.
• Punto $(0, 5)$. $dy/dx = 0$. Interpretación: horizontal en el tope.
• Punto $(3, -4)$. $dy/dx = 3/4 = 0{,}75$. Interpretación: pendiente positiva en el cuarto cuadrante.
• Punto $(5, 0)$. $dy/dx =$ no definida. Interpretación: $F_y = 0$: la circunferencia es vertical.

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Confundir $F_x$ con $F_y$ (intercambiar numerador y denominador).
• Olvidar el signo negativo.
• Aplicar la fórmula donde $F_y = 0$ (la derivada no está definida; coincide con tangente vertical).

Ejemplo Forma 2: Sistema implícito 2×2

Problema

$$\begin{cases} F(x, y, u, v) = u + v - x - y = 0 \\ G(x, y, u, v) = u - v - x + y = 0 \end{cases}$$

Hallar $\partial u/\partial x$, $\partial u/\partial y$, $\partial v/\partial x$, $\partial v/\partial y$.

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Sistema $F=0, G=0$ en $(x, y, u, v)$ con $F, G$ diferenciables y $\det J \neq 0$.
• Herramienta. Calcular Jacobiano $J$ (respecto a incógnitas $u, v$) + lado derecho (respecto a variables libres $x, y$) + resolver sistema lineal.
• Bifurcación. Paso 2: aparece un sistema lineal (no una sola ecuación). Se resuelve por inversión de matriz o sustitución.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Jacobiano del sistema respecto a $(u, v)$:

$$J = \begin{pmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad \det J = -2 \neq 0.$$

2. Lado derecho (derivadas respecto a $x$):

$$\begin{pmatrix} F_x \\ G_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}.$$

3. Resolver $J \cdot (u_x, v_x)^T = -(F_x, G_x)^T$:

$$J^{-1} = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$$ $$\begin{pmatrix} u_x \\ v_x \end{pmatrix} = -J^{-1}\begin{pmatrix} F_x \\ G_x \end{pmatrix} = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

4. De forma análoga, con el lado derecho $(-F_y, -G_y)^T = (1, -1)^T$:

$$\begin{pmatrix} u_y \\ v_y \end{pmatrix} = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

5. Resultado y verificación por sustitución directa:

• $\partial u/\partial x$. Valor: $1$.
• $\partial u/\partial y$. Valor: $0$.
• $\partial v/\partial x$. Valor: $0$.
• $\partial v/\partial y$. Valor: $1$.

Por sustitución directa en el sistema: $u = x$, $v = y$ satisface ambas ecuaciones, y $\nabla u = (1, 0)$, $\nabla v = (0, 1)$. ✓

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Construir mal el Jacobiano: las columnas son derivadas respecto a las incógnitas $(u, v)$, no a las variables libres $(x, y)$.
• Olvidar el signo negativo en la fórmula del sistema.
• Asumir $\det J \neq 0$ sin verificarlo (si $\det J = 0$, el sistema no tiene solución única y la fórmula no aplica).

Errores comunes transversales

1. Aplicar la fórmula donde $F_y = 0$ (o $\det J = 0$): la derivada no está definida.
2. Olvidar el signo negativo en $dy/dx = -F_x/F_y$ o en el sistema lineal.
3. Construir mal el Jacobiano: las columnas son derivadas respecto a las incógnitas, no a las variables libres.
4. Despejar antes de derivar (en Forma 1): usualmente es peor que derivar implícitamente.