Matemática IV

Índice

• Índice
• Teoría matemática
  • Idea para el alumno
  • Definición formal
  • Interpretación geométrica
  • Gradiente
  • Reglas de cálculo
  • Idea-fuerza
• Visualización
  • Ejemplo Forma 1: Derivadas parciales primeras por cálculo directo
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)
  • Ejemplo Forma 2: Gradiente y punto crítico
    • Problema
    • Resolución
      • Analítica
        • Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)
        • Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

Teoría matemática

Idea para el alumno

Una derivada parcial de $f(x,y)$ respecto a $x$ mide cómo cambia $f$ cuando solo $x$ varía (con $y$ congelada). Geométricamente: es la pendiente del corte vertical $y=\text{const}$.

Definición formal

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) := \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) := \lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.$$

Cómo se calcula en la práctica: se deriva respecto a $x$ tratando $y$ como constante, y viceversa.

Interpretación geométrica

• $\partial f/\partial x$ es la pendiente del corte de la superficie $z=f(x,y)$ con el plano $y=b$.
• $\partial f/\partial y$ es la pendiente del corte con el plano $x=a$.

Gradiente

El gradiente agrupa las dos derivadas parciales en un vector:

$$\nabla f(x,y) := \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right).$$

Propiedades:

• Apunta en la dirección de máximo crecimiento de $f$.
• Su magnitud es la tasa de cambio máxima (en esa dirección).
• Es perpendicular a las curvas de nivel de $f$.

Reglas de cálculo

• Suma. Regla: $\partial(g+h)/\partial x = \partial g/\partial x + \partial h/\partial x$.
• Producto. Regla: $\partial(gh)/\partial x = (\partial g/\partial x)h + g(\partial h/\partial x)$.
• Cociente. Regla: $\partial(g/h)/\partial x = \dfrac{(\partial g/\partial x)h - g(\partial h/\partial x)}{h^2}$.
• Cadena. Regla: $\partial f(g(x,y))/\partial x = f'(g)\cdot \partial g/\partial x$.

Idea-fuerza

Tratar a la otra variable como una constante y derivar como en cálculo I.

Visualización

• Figura 1 — Derivada parcial, corte en $x$. Mensaje: "La derivada parcial es la pendiente del corte".
• Figura 2 — Derivada parcial, corte en $y$. Mensaje: "La derivada parcial respecto a $y$ es la pendiente del otro corte".
• Figura 3 — Gradiente perpendicular a las curvas de nivel. Mensaje: "El gradiente es perpendicular a la curva de nivel y apunta hacia donde la función crece".
• Figura 4 — Gradiente en el plano $xy$. Mensaje: "El gradiente forma un campo vectorial".

Ejemplo Forma 1: Derivadas parciales primeras por cálculo directo

Problema

$$f(x,y) = x^2 y + 3xy^2 - 5x + 2y.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Dato. Función polinómica con todos los tipos de término (lineal, producto, cuadrado).
• Herramienta. Derivar término a término, tratando la otra variable como constante.
• Bifurcación. Paso 1: aplicar linealidad + regla del producto. No hay ninguna restricción sobre el dominio (todo $\mathbb{R}^2$).

Verificación (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

1. Derivada respecto a $x$ (con $y$ constante):

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2 - 5.$$

2. Derivada respecto a $y$ (con $x$ constante):

$$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy + 2.$$

3. Gradiente:

$$\nabla f(x,y) = (2xy + 3y^2 - 5,\ x^2 + 6xy + 2).$$

4. Evaluación en $(1,2)$:

• $\partial f/\partial x$. Cálculo: $2(1)(2) + 3(4) - 5$. Valor: $11$.
• $\partial f/\partial y$. Cálculo: $1 + 6(1)(2) + 2$. Valor: $15$.
• $\nabla f(1,2)$. Cálculo: $(11, 15)$. Valor: — (vector gradiente en el punto).

5. Comprobación numérica con $h=0.001$: $f(1,2) = 1(2)+3(1)(4)-5+4 = 13$. Con $h=0.001$: $f(1.001, 2) \approx 13.011$, diferencia $\approx 0.011$, cociente $\approx 11.0$. Coincide con la derivada analítica. ✓

Errores comunes (Ejemplo Forma 1 · Analítica)

• Tratar $y$ como variable al derivar respecto a $x$ (olvidar "la otra como constante").
• Aplicar mal la regla del producto en $x^2 y$: confundir con $(x^2 y)' = 2x$ en lugar de $2xy$.
• Olvidar el término constante $-5$ en $\partial f/\partial x$ (la constante desaparece solo al derivar respecto a $x$, pero sigue presente al evaluar después).

Ejemplo Forma 2: Gradiente y punto crítico

Problema

$$f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 4x + 6y + 5.$$

Resolución

Analítica

Diferenciador (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Dato. Función cuadrática con término lineal; forma de paraboloide.
• Herramienta. Plantear $\nabla f = (0,0)$ y resolver el sistema lineal resultante.
• Bifurcación. Paso 2: aparece un sistema de ecuaciones (no una sola ecuación). Hay que resolver ambas a la vez.

Verificación (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

1. Derivadas parciales:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 4,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 4y + 6.$$

2. Igualar a cero (punto crítico):

$$2x-4=0\Rightarrow x=2,\qquad 4y+6=0\Rightarrow y=-\tfrac{3}{2}.$$

3. Punto crítico: $(2, -3/2)$.

4. Valor en el punto crítico:

$$f(2,-3/2) = 4 + 2(9/4) - 8 + 6(-3/2) + 5 = 4 + 4.5 - 8 - 9 + 5 = -3.5.$$

5. Confirmación como mínimo: en $(2, -3/2 + h)$ el incremento es $4h^2 > 0$; en $(2+h, -3/2)$ el incremento es $2h^2 > 0$. La función crece en todas las direcciones, por lo que es un mínimo. En un punto aleatorio como $(0,0)$: $\nabla f(0,0) = (-4, 6)$, no nulo. ✓

• $\partial f/\partial x$. Valor: $2x - 4$.
• $\partial f/\partial y$. Valor: $4y + 6$.
• Punto crítico. Valor: $(2, -3/2)$.
• $f$ en el punto crítico. Valor: $-3.5$.
• Tipo. Valor: mínimo.

Errores comunes (Ejemplo Forma 2 · Analítica)

• Olvidar igualar ambas derivadas parciales a cero.
• Resolver mal una ecuación (signo equivocado).
• Asumir que cualquier punto con $\nabla f=0$ es mínimo (puede ser máximo o silla — verificar con Hessiano o con la segunda derivada).